Question

（1）已知z为虚数，为实数，若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）已知w=z+i（z∈C），且为纯虚数，求M=|w+1|²+|w-1|²的最大值及M取最大值时w的值．

Answer

（1）由已知，可设z=2+bi（b∈R，b≠0）．根据为实数求出虚部为0，解出参数b，从而求出z
（2）设z=a+bi（a，b∈R，）根据为纯虚数，得出，即a2+b2=4，且b≠0．
M=|w+1|2+|w-1|2=2（a2+b2）+4b+4=12+4b，在上式条件下求出最值及w．
【解析】
（1）z为虚数且z-2为纯虚数，可设z=2+bi（b∈R，b≠0）
又=2+bi+=2+bi-i=2+（b-）i为实数，
所以b-=0，b=±3
所以z=2±3i．
（2）设z=a+bi（a，b∈R，）
则==
由于为纯虚数，所以
即a2+b2=4，且b≠0．①
∴M=|w+1|2+|w-1|2=（a+1）2+（b+1）2+（a-1）2+（b+1）2
=2（a2+b2）+4b+4
=12+4b
由①可得出b∈[-2，2]且b≠0，所以b的最大值为2，从而M的最大值为20．
此时a=0，w=z+i=2i+i=3i．