Question

某生物兴趣小组对A、B两种植物种子的发芽率进行验证性实验，每实验一次均种下一粒A种子和一粒B种子．已知A、B两种种子在一定条件下每粒发芽的概率分别为．假设两种种子是否发芽互相不受影响，任何两粒种子是否发芽互相也没有影响．
（1）求3粒A种子，至少有一粒未发芽的概率；
（2）求A、B各3粒种子，A至少2粒发芽且B全发芽的概率；
（3）假设对B种子的实验有2次发芽，则终止实验，否则继续进行，但实验的次数最多不超过5次，求对B种子的发芽实验终止时，实验次数ξ的概率分布和数学期望．

Answer

（1）先求出事件“3粒都发芽”的概率，然后利用对立事件的概率公式求出3粒A种子，至少有一粒未发芽的概率；
（2）利用互斥事件的概率公式求出）“A至少2粒发芽”，然后利用相互独立事件的概率公式求出事件的概率；
（3）利用相互独立事件的概率公式求出随即变量ξ取每一个值的概率值，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．
【解析】
（1）“至少有一粒未发芽”与“3粒都发芽”的对立事件；
3粒都发芽”的概率为：，
所以“至少有一粒未发芽”概率为1-
（2）“A至少2粒发芽”包含“3粒都发芽”和“只有2粒发芽”
所以“A至少2粒发芽”的概率为，
B全发芽的概率为，
所以A至少2粒发芽且B全发芽的概率为，
（3）ξ可能的取值有2，3，4，5
P（ξ=2）=，
P（ξ=3）=，
P（ξ=4）==，
P（ξ=5）=，
所以实验次数ξ的概率分布列：

所以ξ的数学期望为：Eξ==