2011-2012学年江西师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

=（ ）
A．-2-i
B．-2+i
C．2-i
D．2+i

2. 难度：中等

函数的单调递减区间是（ ）
A．（5，+∞）
B．（3，+∞）
C．（-∞，1）
D．（-∞，3）

3. 难度：中等

已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知平面向量满足：，，则向量与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下面有三个命题：
①“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a，b不相交”；
②“直线a∥平面α”的必要不充分条件是“直线a与平面α内的直线b平行”；
③“直线a⊥平面α”的充要条件是“直线a与平面α内的任意直线垂直”；
其中正确的命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知函数f（x）=，则不等式x+（x+1）f（x-1）≥1的解集为（ ）
A．（-∞，-2]∪[0，+∞）
B．（-∞，-2]∪[1，+∞）
C．[1，+∞）
D．[0，+∞）

7. 难度：中等

已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A．[-1，5]
B．[-3，5]
C．（-∞，-1]∪[5，+∞）
D．（-∞，-3]∪[5，+∞）

8. 难度：中等

已知图等差数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1+a_n=4n（n∈N*），S_n是{a_n}的前n项和，则S₂₉=（ ）
A．813
B．841
C．855
D．900

9. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，使得k+|x-2|≥|x-1|；命题q：∀x，y∈R⁺且x+y=1，有xyk≤x+4y．若p∧q为真，则实数k的取值范围是（ ）
A．[-1，9]
B．[1，9]
C．[-1，8]
D．[1，8]

10. 难度：中等

若b＞a＞3，f（x）=，则下列各结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．f（）＜f（）＜f（a）
D．f（b）＜f（）＜f（）

二、填空题

11. 难度：中等

sin15°•cos15°=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（m+1）x+2m是偶函数，且f（x）在x=1处的切线方程为（n-2）x-y-3=0，则常数m，n的积等于    ．

13. 难度：中等

（文） 如图都是由边长为1的正方体叠成的图形．例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第n个图形的表面积是    个平方单位．

14. 难度：中等

如图，平面内有三个向量，其中与夹角为150°，与的夹角为60°，，，若，则λ-μ的值是    ．

15. 难度：中等

有4个命题：①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=x的图象有三个公共点；
③把函数的图象向右平移得到y=3sin2x的图象；
④函数在[0，π]上是减函数．
其中真命题的序号是    （填上所有真命题的序号）．

三、解答题

16. 难度：中等

（1）解不等式：|x-1|+|x+1|≤4；
（2）已知a，b，c∈R⁺，且abc=1，求证：．

17. 难度：中等

已知菱形ABCD，沿对角线BD将△ABD折起至△PBD处，P∉平面BCD，M是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDM；
（2）求证：平面BDM⊥平面PAC．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等比数列，且a_n＞0，{b_n}是首项为l的等差数列，又a₅+b₃=21，a₃+b₅=13．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（2）求数列的前n项和S_n．

19. 难度：中等

已知△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足（a²+c²-b²）sin（B+C）=a²sinC．
（1）求角B的大小；
（2）设，若的最大值为11，求k的值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足．
（1）求a₁和通项a_n；
（2）令，求证：．

21. 难度：中等

已知在区间[-1，1]上是增函数
（ I）求实数a的取值范围；
（ II）记实数a的取值范围为集合A，且设关于x的方程的两个非零实根为x₁，x₂．
①求|x₁-x₂|的最大值；
②试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1＞|x₁-x₂|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．