Question

已知命题p：∃x∈R，使得k+|x-2|≥|x-1|；命题q：∀x，y∈R⁺且x+y=1，有xyk≤x+4y．若p∧q为真，则实数k的取值范围是（ ）
A．[-1，9]
B．[1，9]
C．[-1，8]
D．[1，8]

Answer

本题考查复合命题，解决的方法是：将k+|x-2|≥|x-1|和xyk≤x+4y分别变形后求出k的取值范围，最后求交集．
【解析】
命题p：∃x∈R，使得k+|x-2|≥|x-1|成立，
∴有：∃x∈R，k≥|x-1|-|x-2|成立，
∴只须：k大于等于（|x-1|-|x-2|）的最小值即可，
而由绝对值的几何意义可知|x-1|-|x-2|表示数轴上的点到1和2的距离之差，
由上图分析得：当实数x在数轴上移动时有：-1≤|x-1|-|x-2|≤1，
即：k≥-1．
命题q：∀x，y∈R+且x+y=1，有xyk≤x+4y，
∴有：对∀x，y∈R+且满足x+y=1的实数x、y成立，
∴只须：k小于等于的最小值即可，
而===5+，
即：k≤9．
又∵p∧q为真，
∴命题p和命题q均为真命题，
∴应有，解得：-1≤k≤9，即：[-1，9]．
故选A．