2011-2012学年安徽省六安市舒城中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=等于（ ）
A．-2
B．2
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

设全集I是实数集R，M={x|x²＞4}与N={x|1＜x≤3}都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{x|x＜2}
B．{x|-2≤x＜1}
C．{x|-2≤x≤2}
D．{x|1＜x≤2}

3. 难度：中等

y=（sinx-cosx）²-1是（ ）
A．最小正周期为2π的偶像函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数

4. 难度：中等

在下列结论中，正确的结论是（ ）
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；
④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④

5. 难度：中等

若|丨=2||≠0，=+，且⊥，则向量与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

6. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁+a₂+a₅=13，且a₁、a₂、a₅成等比数列，则数列{a_n}的公差等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=-11，a₄+a₆=-6，则当S_n取最小值时，n等于（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

8. 难度：中等

函数f（x）=x³+x，x∈R，当时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（-∞，0）
C．
D．（-∞，1）

9. 难度：中等

曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积是（ ）

A．2π
B．3π
C．
D．π

10. 难度：中等

已知函数y=f（x）的大致图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式应为（ ）

A．f（x）=x-
B．f（x）=x+
C．f（x）=
D．f（x）=x+

二、填空题

11. 难度：中等

已知α为第二象限角，且，那么sin2α=    ．

12. 难度：中等

A 若f（x）=2^x+2^-xlga是奇函数，则实数a=    ．
B 已知关于x的方程x³-ax²-2ax+a²-1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

A 若方程a^x-x-a=0有两个实数解，则a的取值范围是   
B 如图，矩形ABCD中边长AB=2，BC=1，E为BC的中点，若F为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的前N项和为S_n，a₁=1，当n≥2时a_n+2S_n-1=n，则S₂₀₁₁=    ．

15. 难度：中等

A 任意a，b∈R，定义运算a*b=，则f（x）=x*lnx的最大值为   
B 对于函数①f（x）=4x+-5；②f（x）=|log₂x|-；③f（x）=cos（x+2）-cosx；
命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；
命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1．
能使命题甲、乙均为真命题的函数序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）
（1）若，求sin2α的值；
（2）若，其中O是原点，且α∈（0，π），求与的夹角．

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B-C）=4sinB•sinC-1．
（1）求A；
（2）若a=3，sin=，求b．

18. 难度：中等

设函数f（x）=x²+x-．
（1）若函数的定义域为[0，3]，求f（x）的值域；
（2）若定义域为[a，a+1]时，f（x）的值域是[-，]，求a的值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x，过该函数图象上点（1，f（1））的切线为g（x）=kx+b
（Ⅰ）证明：y=f（x）图象上的点总在y=g（x）图象的上方；
（Ⅱ）若e^x≥ax在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

如图，现有一块半径为2m，圆心角为90°的扇形铁皮AOB，欲从其中裁剪出一块内接五边形
ONPQR，使点P在AB弧上，点M，N分别在半径OA和OB上，四边形PMON是矩形，点Q在弧AP上，R点在线段AM上，四边形PQRM是直角梯形．现有如下裁剪方案：先使矩形PMON的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形PQRM的面积也达到最大．
（Ⅰ）设∠BOP=θ，当矩形PMON的面积最大时，求θ的值；
（Ⅱ）求按这种裁剪方法的原材料利用率．

21. 难度：中等

A已知数列{a_n}是首项为，公比q=的等比数列，设，数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
B已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，，，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当λ≠-18时，数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设0＜a＜b（a，b为实常数），S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．