2011-2012学年新人教版高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知f（x）=sinx（cosx+1），则f′（x）等于（ ）
A．cos2x-cos
B．cos2x-sinx
C．cos2x+cos
D．cos2x+cosx

2. 难度：中等

在△ABC中，若，，，则此三角形中最大内角是（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°

3. 难度：中等

若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则=（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

4. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=-11，a₄+a₆=-6，则当S_n取最小值时，n等于（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

5. 难度：中等

已知圆的方程x²+y²=4，若抛物线过点A（0，-1），B（0，1）且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是（ ）
A．+=1（y≠0）
B．+=1（y≠0）
C．+=1（x≠0）
D．+=1（x≠0）

6. 难度：中等

设x，y∈R⁺，且xy-（x+y）=1，则（ ）
A．x+y≥2+2
B．xy≤+1
C．x+y≤（+1）²
D．xy≥2+2

7. 难度：中等

若不等式ax²+bx+2＞0的解集是{x|-＜x＜}，则a+b的值为（ ）
A．-10
B．-14
C．10
D．14

8. 难度：中等

等比数列{a_n}中，已知对任意自然数n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于（ ）
A．
B．（2ⁿ-1）²
C．4ⁿ-1
D．2ⁿ-1

9. 难度：中等

某人朝正东方向走x千米后，向右转150°并走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．3

10. 难度：中等

若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若函数f（x）=在x=1处取得极值，则a等于（ ）
A．-5
B．-2
C．1
D．3

12. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为AC与BD的交点，若，，，则向量等于（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在△ABC中，已知，则△ABC的形状是     ．

14. 难度：中等

如图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）图中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n≥2）行的第2个数是    ．

15. 难度：中等

若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x³和都相切，则a等于    ．

16. 难度：中等

设椭圆的下、上顶点分别为B1、B2，若点P为椭圆上的一点，且直线PB1、PB2的斜率分别为和-1，则椭圆的离心率为    ．

17. 难度：中等

数列{a_n}的前n项的和S_n=（n+1）²+λ，则数列{a_n}为等差数列的充要条件是λ=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．S_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（2）对于给定的实数λ，试求数列{b_n}的通项公式，并求S_n．
（3）设0＜a＜b（a，b为给定的实常数），是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨，二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨，二级子棉2吨；每吨甲种棉纱的利润是600元，每吨乙种棉纱的利润是900元；工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨，二级子棉不超过250吨．问甲、乙两种棉纱各生产多少吨，才能使利润总额最大？并求最大利润总额．

20. 难度：中等

已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设的值．

21. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF₁为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF₁F₂面积的最大值．

22. 难度：中等

设函数，
（1）对于任意实数x，f'（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．