2006-2007学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某种指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，应采用的抽样方法为（ ）
A．抽签法
B．随机数表法
C．系统抽样法
D．分层抽样法

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，则=（ ）
A．
B．
C．1+i
D．-1+i

3. 难度：中等

本次南开中学期末考试时间是7月5日、6日，重庆天气预报5日下雨的概率为0.2.6日下雨的概率为0.4，那么预测本次期末考试期间不下雨的概率是（ ）
A．0.08
B．0.48
C．0.52
D．0.92

4. 难度：中等

用数学归纳法证明“”在第一步验证取初始值时，左边计算的结果是（ ）
A．1
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在下列极限中，其值等于2的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

甲、乙二人围棋比赛，每一局甲胜乙的概率为，今比赛5局，记事件A为“甲恰好胜三局”，事件B为“甲恰好胜四局”，则两事件的概率（ ）
A．P（A）＞P（B）
B．P（A）＜P（B）
C．P（A）=P（B）
D．以上皆有可能

7. 难度：中等

函数f（x）=（1-x）⁵+（1+x）⁵的单调减区间为（ ）
A．（-∞，0]
B．[0，+∞）
C．（-∞，1）
D．（-∞，+∞）

8. 难度：中等

设随机变量ξ～N（0，1），已知φ（1.96）=0.975，则P（|ξ|＜1.96）=（ ）
A．0.975
B．0.950
C．0.050
D．0.025

9. 难度：中等

在二项式的展开式中任取一项，所取的项恰为有理项的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数f（x）=log_a（x³-ax）（a＞0，a≠1）在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

设a、b∈R，若a+4i=3+bi，则=    ．

12. 难度：中等

随机变量ξ的分布列如右表所示，则Eξ=    ；

ξ	-1		1
P	m^2	1-1.4m	0.4

13. 难度：中等

设（2x+1）⁴=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则a（a₁+a₃）=    ．

14. 难度：中等

为了支持三峡工程建设，某市决定接受一批三峡移民，其中有3户互为亲戚关系，现将这3户移民随意安置到5个村民组，这3户移民恰有2户被安置到同一村民组的概率为    ；（用数字作答）

15. 难度：中等

某中学举行重庆直辖十周年知识问卷竞答，满分100分，现将参赛者的成绩进行整理后分为五组绘制了样本的频率直方图（如图）．已知图中从左到右的第二小组的频数为80，则参赛人数为    人．

16. 难度：中等

已知函数，若f（-2）=3，则不等式f（x²-3x）≥3的解集为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

计算：（1）若数列，求；
（2）若函数在R上是连续函数，求a的取值．

18. 难度：中等

设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为、、．
（1）若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率；
（2）若甲单独向目标连续射击三次，求他恰好命中两次的概率；
（3）若甲向目标连续射击1000次，试估计他命中目标的次数．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³-bx²-5cx在（-∞，0]上单调递减，在[0，6]上单调递增．
（1）求实数c的值；
（2）求b的取值范围．

20. 难度：中等

重庆市规定：汽车驾驶员要获得汽车驾驶执照，申请后必须依次通过科目一、科目二、科目三3次考试，若其中某科目考试没有通过，则不能参加后面科目的考试，此次申请不予通过．已知某人通过科目一、科目二、科目三考试的概率分别为0.9、0.7、0.6．
（1）求此人顺利获得汽车驾驶执照的概率；
（2）设此人在此次申请驾驶执照的过程中，参加的考试次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望．

21. 难度：中等

已知，用数学归纳法证明：n∈N^*时，a_n＜1．

22. 难度：中等

已知函数在（0，1）上为减函数．
（1）讨论f（x）的单调性（指出单调区间）；
（2）当a＞0时，如果f（x）在（0，1）上为减函数，g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函数，求实数a的值；
（3）当a=2时，若内恒成立，求b的取值范围．