2007-2008学年湖北省宜昌一中高三（上）段考数学试卷3（集合与简易逻辑、函数、数列、三角函数、平面向量、不等式）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=2^x+1的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知集合A中有10个元素，B中有6个元素，全集U有18个元素，A∩B≠∅，设集合C_∪（A∪B）有x个元素，则x的取值范围是（ ）
A．3≤x≤8且x∈N
B．2≤x≤8且x∈N
C．8≤x≤12且x∈N
D．10≤x≤15且x∈N

3. 难度：中等

已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2
B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1
C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象
D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象

4. 难度：中等

命题p：“x＞1”是“”的充要条件；命题q：若|x²-8x+a|≤x-4的解集为[4，5]，则a=16．那么（ ）
A．“p或q”为假
B．“p且q”为真
C．“p且¬q“为真
D．“¬p且q“为真

5. 难度：中等

曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（ ）
A．
B．
C．
D．0

6. 难度：中等

已知点O为△ABC外接圆的圆心，且由，则△ABC的内角A等于（ ）

A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

7. 难度：中等

在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数的方式成长，假设细菌A的数量每两个小时可以成长为原来的2倍，细菌B的数量每三个小时可以成长为原来的3倍．若养分充足且开始时两种细菌数量相等，则大约几小时后细菌B的数量最接近细菌A的数量的10倍（可能用到的数据：lg 3=0.4771，lg 2=0.3010）（ ）
A．100小时
B．96小时
C．69小时
D．48小时

8. 难度：中等

设f （x）是奇函数，对任意的实数x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f （x）＜0，则f （x）在区间[a，b]上（ ）
A．有最大值f（a）
B．有最小值f（a）
C．有最大值
D．有最小值

9. 难度：中等

将n²个正整数1，2，3，…，n²填入n×n方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方．记f（n）为n阶幻方对角线的和，如右图就是一个3阶幻方，可知f（3）=15，，则f（5）=（ ）

8	3	4
1	5	9
6	7	2

A．63
B．64
C．65
D．66

10. 难度：中等

设f （n）为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f（123）=1²+2²+3²．记f₁（n）=f （n），f_k+1（n）=f[f_k（n）]（k=1，2，3，…），则f₂₀₀₇（2007）=（ ）
A．20
B．4
C．42
D．145

二、填空题

11. 难度：中等

已知三个不等式：①ab＞0；②；③bc＞ad．以其中两个作为条件，余下一个作为结论组成命题，则真命题的个数为     ．

12. 难度：中等

已知向量、的夹角为45°，且||=4，（+）•（2-3）=12，则||=    ；在上的投影等于    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）=cosx+|sinx|（x∈[0，2π]）的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

给出下列四个命题；其中所有正确命题的序号是   
①函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
②函数y=2^-x（x＞0）的反函数是y=-log₂x（0＜x＜1）；
③若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则a≤-4或a≥0；
④若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称．

15. 难度：中等

已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，则第60个数对是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

记函数的定义域为A，g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]，（a＜1）的定义域为B．若B⊆A，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知三点A、B、C的坐标分别为，B（3，0），C（0，3），若，求的值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，（n∈N^*，n＞1）．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{a_na_n+1}的前n项和S_n；
（3）设f_n（x）=S_nx²ⁿ⁺¹，b_n=f'_n（2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：f（t）=．
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

20. 难度：中等

已知在数列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²，其中t＞0，x=是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若＜t＜2，b_n=（n∈N^*），求证：++…+＜2ⁿ-．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx++ax，x∈（0，+∞） （a为实常数）．
（1）当a=0时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；
（3）设各项为正的无穷数列{x_n}满足lnx_n+＜1（n∈N^*），证明：x_n≤1（n∈N^*）．