Question

已知函数f（x）=lnx++ax，x∈（0，+∞） （a为实常数）．
（1）当a=0时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；
（3）设各项为正的无穷数列{x_n}满足lnx_n+＜1（n∈N^*），证明：x_n≤1（n∈N^*）．

Answer

（1）a=0时，f′（x）=则当0＜x＜1时f′（x）＜0，当x＞1时f′（x）＞0可求解；
（2）由f′（x）=分a≥0和a＜0两种情况讨论
（3）用反证法，假设x1=b＞1，由（2）已得到，再递推得从而有
∴，得出矛盾．
解（1）a=0时，f′（x）=
当0＜x＜1时f′（x）＜0，当x＞1时f′（x）＞0，
∴f（x）min=1
（2）f′（x）=
当a≥0时，ax2+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求；
当a＜0时，令g（x）=ax2+x-1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或，解得：a≤
∴a的取值范围是（-∞，]∪[0，+∞）

（3）反证法：假设x1=b＞1，由（1）知，
∴ln+≥1＞lnxn+，∴＞lnb+，（n∈N*），
∴故=，即＜1，即lnb＜，①
又由（1）当b＞1时，∴，与①矛盾，故b≤1，即x1≤1，
同理可证x2≤1，x3≤1，…，xn≤1（n∈N*）