2010-2011学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

有4个命题：
①O，A，B，C为空间四点，且不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面
②若与共线，与共线，则与共线
③若与共面，则
④若，则P，M，A，B共面
其中，真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

若k∈R，则“k≤-5”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．无法确定

5. 难度：中等

如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ）
A．x+4y=0
B．x+4y-10=0
C．x+4y-6=0
D．x-4y-10=0

6. 难度：中等

当m∈[-2，-1]时，二次曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．[]
B．[]
C．[]
D．[]

7. 难度：中等

与y轴相切且和曲线x²+y²=4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（ ）
A．y²=-4（x-1）（0＜x≤1）
B．y²=4（x-1）（0＜x≤1）
C．y²=4（x+1）（0＜x≤1）
D．y²=-2（x-1）（0＜x≤1）

8. 难度：中等

如果方程（p＞0）表示双曲线，则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知定点N（0，1），动点A，B分别在抛物线及曲线上，若B在A的上方，且AB∥y轴，则△ABN的周长l的取值范围是（ ）
A．（，2）
B．（）
C．（）
D．（）

10. 难度：中等

已知点P是椭圆上的动点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是（ ）
A．（0，2]
B．
C．[2）
D．[0，4]

二、填空题

11. 难度：中等

若向量、的夹角的余弦值为，则λ=    ．

12. 难度：中等

已知平面α的一个法向量，点A（-1，3，0）在α内，则点P（-2，1，2）到α的距离为    ．

13. 难度：中等

直线l经过抛物线y²=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为3，则|AB|=    ．

14. 难度：中等

椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则|y₂-y₁|的值为    ．

15. 难度：中等

已知双曲线的实轴为A₁A₂，虚轴为B₁B₂，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F₂折至点F，若点F在平面A₁B₁B₂内的射影恰好是该双曲线的左顶点A₁，且直线B₁F与平面A₁B₁B₂所成角的正切值为，则a=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图所示，设A为△ABC所在平面外一点，HD=2CH，G为BH的中点
（1）试用表示
（2）若，∠BAC=60°，∠CAD=∠DAB=45°，||=||=2，||=3，求||

17. 难度：中等

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱长为4，E为面A₁D₁DA的中心，
CF=3FC₁，AH=3HD，
（1）求异面直线EB₁与HF之间的距离
（2）求二面角H-B₁E-A₁的平面角的余弦值．

18. 难度：中等

已知椭圆C：的左右焦点为F₁，F₂，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，且
（1）计算椭圆的离心率e
（2）若直线l向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C截得的弦长为，则求椭圆C的方程．

19. 难度：中等

已知中心在原点的双曲线C的离心率为，一条准线方程为x=
（1）求双曲线C的标准方程
（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围．

20. 难度：中等

如图，已知直线l与抛物线x²=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．
（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；
（Ⅱ）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．

21. 难度：中等

椭圆的中心在原点，其左焦点F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合，过F₁的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点O，F₁，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（Ⅲ）求的最值．