Question

已知双曲线的实轴为A₁A₂，虚轴为B₁B₂，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F₂折至点F，若点F在平面A₁B₁B₂内的射影恰好是该双曲线的左顶点A₁，且直线B₁F与平面A₁B₁B₂所成角的正切值为，则a=    ．

Answer

由题意可得直线B1F与平面A1B1B2所成角为∠FB1A1，可得==，求得 FA1 的值，
直角三角形FA1O 中，由勾股定理可得 FO2=A1O2+FA12，由此求出a 的值．
【解析】
如图所示：由题意可得 实轴A1A2 =4，B1B2，=2，FA1⊥面A1B1B2，
直线B1F与平面A1B1B2所成角为∠FB1A1．
∴==，∴FA1=．
又FO=c=，A1O=2．直角三角形FA1O 中，由勾股定理可得 FO2=A1O2+FA12，
即4+a=4+，解得 a=1．
故答案为：1．