2008-2009学年浙江省杭州二中高三（上）1月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合P={（x，y）|y=k（x-1）+1，x∈R，y∈R}，Q={（x，y）|x²+y²-2y=0，x∈R，y∈R}，那么集合P∩Q中（ ）
A．没有一个元素
B．至多一个元素
C．只有两个元素
D．有一个或两个元素

2. 难度：中等

已知点（n，a_n）（n∈N^*）都在直线3x-y-24=0上，那么在数列a_n中有a₇+a₉=（ ）
A．a₇+a₉＞0
B．a₇+a₉＜0
C．a₇+a₉=0
D．a₇•a₉=0

3. 难度：中等

为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（ ）

A．0.27，78
B．0.27，83
C．2.7，78
D．2.7，83

4. 难度：中等

函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

n个连续自然数按规律排成下表根据规律，从2007到2009的箭头方向依次为（ ）

A．↓→
B．→↑
C．↑→
D．→↓

6. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；
B．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”；
C．若命题p：∃x∈R，x²-x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x²-x+1≥0；
D．“”是“θ=30°”的充分不必要条件

7. 难度：中等

将A、B、C、D四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球，且A、B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ ）
A．30
B．36
C．60
D．66

8. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≤f（x），对任意的正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（a）≤bf（b）
B．af（a）≥bf（b）
C．af（b）≤bf（a）
D．af（b）≥bf（a）

9. 难度：中等

已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F₁，F₂，抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，P为两曲线的一个公共点，若=e，则e的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数有且仅有3个实数根x₁、x₂、x₃，则x₁²+x₂²+x₃²=（ ）
A．5
B．
C．3
D．

二、填空题

11. 难度：中等

复数化简后的结果为    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是    ．

13. 难度：中等

2008年“神七”飞天，举国欢庆，据计算，运载飞船的火箭在点火1分钟通过的路程为2km，以后每分钟通过的路程增加2km，在到达离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是     ．

14. 难度：中等

设二项式展开式中常数项的值为    ．

15. 难度：中等

函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R），又f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值等于，则正数ω的值为    ．

16. 难度：中等

设不等式组所表示的区域为A，现在区域A中任意丢进一个粒子，则该粒子落在直线上方的概率为     ．

17. 难度：中等

已知a，b都是负实数，则的最小值是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

19. 难度：中等

袋中装有4个黑球和3个白球共7个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需的取球次数．
（Ⅰ）求恰好取球3次的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布；
（Ⅲ）求恰好甲取到白球的概率．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的各项都是正数，a₁=1，，b_n=a_n²+a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：＜1．

21. 难度：中等

已知曲线C上的动点M（x，y）满足到点（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（2，4）的直线与曲线C交于A、B两点，在线段AB上取点Q，满足|•||•||，证明：
（ⅰ）；（ⅱ）点Q总在某定直线上．

22. 难度：中等

已知定义在正实数集上的函数f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）  （x＞0）．