2008-2009学年浙江省杭州高级中学高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x²≥1，则x≥1或x≤-1
B．若-1＜x＜1，则x²＜1
C．若x＞1或x＜-1，则x²＞1
D．若x≥1或x≤-1，则x²≥1

2. 难度：中等

椭圆5x²+ky²=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（ ）
A．-1
B．1
C．
D．-

3. 难度：中等

使iⁿ取正实数的最小正整数n的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

4. 难度：中等

过点（2，-2）且与双曲线-y²=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

5. 难度：中等

计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）
a=1
b=3
a=a+b
b=a-b
PRINTa，b．
A．1，3
B．4，1
C．0，0
D．6，0

6. 难度：中等

已知点A（-2，1），y²=-4x的焦点是F，P是y²=-4x上的点，为使|PA|+|PF|取得最小值，则P点的坐标是（ ）
A．（，1）
B．（-2，）
C．（，-1）
D．（-2，）

7. 难度：中等

函数的导数是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

曲线y=x³-3x²+1在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A．y=3x-4
B．y=-3x+2
C．y=-4x+3
D．y=4x-5

9. 难度：中等

平面直角坐标系上有两个定点A，B和动点P，如果直线PA和PB的斜率之积为定值m（m≠0），则点P的轨迹不可能是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

10. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．

二、填空题

11. 难度：中等

函数f（x）=xlnx（x＞0）的单调递增区间是    ．

12. 难度：中等

设x，y满足，则x-2y的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知双曲线C：，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是    ．

14. 难度：中等

x，y∈R，（x+4）+（x+y）i=（y-1）+（3x-1）i则x=    ，y=    ．

15. 难度：中等

方程2x³-6x²+7=0在区间（0，2）内实根的个数是    ．

16. 难度：中等

用计算机产生随机二元数组成区域，对每个二元数组（x，y），用计算机计算x²+y²的值，记“（x，y）满足x²+y²＜1”为事件A，则事件A发生的概率为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知点A（-2，3）到抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的距离为5，
（1）求点F的坐标（用p表示）；
（2）求抛物线的方程．

18. 难度：中等

已知a＞0，且a≠1，设P：函数y=log_ax在区间（0，+∞）内单调递减；Q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．
（1）求Q正确时，a的取值范围；
（2）求P与Q有且只有一个正确的充要条件．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

20. 难度：中等

如图所示，F₁，F₂分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F₁，F₂两点的距离之和为4且．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F₁PQ的面积．

21. 难度：中等

已知函数．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，求实数a的值；
（II）若函数y=f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

附加题：已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0，F、F₁、F₂是对应的焦点．
（1）（文）若三角形FF₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程．
（2）（理）当|A₁A₂|＞|B₁B₂|时，求的取值范围．