2009-2010学年北京市宣武区高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a，b∈R，则命题p：a=b是命题q：成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）最小正周期为5，且f（1）=1，则f（log₂64）的值为（ ）
A．6
B．-1
C．-6
D．1

3. 难度：中等

函数y=3^|x|-1的定义域为[-1，2]，则函数的值域为（ ）
A．[2，8]
B．[0，8]
C．[1，8]
D．[-1，8]

4. 难度：中等

设a＞0，b＞0．若的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．1
D．

5. 难度：中等

已知直线y=x+2与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos 2B+3cos（A+C）+2=0，b=，则c：sin C等于（ ）
A．3：1
B．：1
C．：1
D．2：1

7. 难度：中等

若x∈R，n∈N^*，记符号H_xⁿ=x（x+1）（x+2）…（x+n-1），例如：H_-4³=（-4）（-3）（-2）=-24，则函数f（x）=H_x-2⁵（ ）
A．是奇函数不是偶函数
B．是偶函数不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数

8. 难度：中等

函数y=f（x）满足：对任意a₁∈（0，1），由关系式a_n+1=f（a_n）得到的数列{a_n}都有a_n+1＜a_n（ n∈N^*），则该函数y=f（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

设函数f（x）=，则f[f（）]=    ．

10. 难度：中等

含有三个实数的集合既可表示为{b，，0}，也可表示为{a，a+b，1}，则a²⁰¹⁰+b²⁰¹⁰ 的值为    ．

11. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1时有极值为10，则a+b的值为    ．

12. 难度：中等

已知，则2^x+y-2的最小值是    ．

13. 难度：中等

在如图的表格中，每格填上一个数字之后，使每一横行各数组成等差数列，每一纵列各数组成等比数列，则a+b+c的值为    ．

1		2
0.5	a	1
		b
			c

14. 难度：中等

已知f₁（x）=sinx+cosx，记f₂（x）=f′₁（x），f₃（x）=f′₂（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x），（ n∈N^*，n≥2）．则f₁（）+f₂（）+…+f₂₀₁₀（）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设函数f（x）=2cos（2x+）+（sinx+cosx）²．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（+）=，且C为锐角，求sinA的值．

16. 难度：中等

设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式时恒成立，求实数x的取值范围．

17. 难度：中等

如图，函数的图象与y轴交于点，且在该点处切线的斜率为-2．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点，点P是该函数图象上一点，点Q（x，y）是PA的中点，当，时，求x的值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n-1=b_n+（2n-1）（ n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅲ）若c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N^*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）-f（x）总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：．