Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n-1=b_n+（2n-1）（ n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅲ）若c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由Sn=3n，可得Sn-1=3n-1（n≥2）．利用递推公式，an=Sn-sn可求
（Ⅱ）由bn+1=bn+（2n-1）可得bn-bn-1=2n-3，利用叠加法可求
（Ⅲ）由（I）（II）可求，利用错误相减可求
【解析】
（Ⅰ）∵Sn=3n，
∴Sn-1=3n-1（n≥2）．
∴an=Sn-sn=3n-3n-1=2•3n-1（n≥2）．
当n=1时，2•3=2≠S1=3，
∴       （4分）
（Ⅱ）∵bn+1=bn+（2n-1）
∴b2-b1=1，
b3-b2=3，
b4-b3=5，
…
bn-bn-1=2n-3，
以上各式相加得
bn-b1=1+3+5+…+（2n-3）==（n-1）2
∵b1=-1，∴bn=n2-2n．     （9分）
（Ⅲ）由题意得
当n≥2时，
Tn=-3+2•0×3+2•1×32+…+2（n-2）×3n-13Tn=-9+2•0×32+2•1×33+2•2×34+…+2（n-2）×3n
相减得：-2Tn=（n-2）×3n-（3+32+33+…+3n-1）
Tn=（n-2）×3n-（3+32+33+…+3n-1）=
=