Question

设函数f（x）=2cos（2x+）+（sinx+cosx）²．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（+）=，且C为锐角，求sinA的值．

Answer

（Ⅰ）由题意可得：f（x）=cos2x+，所以函数f（x）的最大值为1+，最小正周期π．
（Ⅱ）由（I）可得：f（+）=sinC+=，进而求出C=，由题意可得：cosB=，所以 sinB=，结合 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得：
f（x）=2cos（2x+）+（sinx+cosx）2
=cos2x-sin2x+（1+sin2x）
=cos2x+
所以函数f（x）的最大值为1+，最小正周期π．
（Ⅱ）由（I）可得：f（+）=cos（+C）+=-sinC+=，
所以sinC=，
因为C为锐角，所以C=，
又因为在△ABC中，cosB=，所以 sinB=，
所以 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC==．