2010-2011学年浙江省杭州市源清中学高一（下）数学暑假作业（数列）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=tana_n•tana_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

2. 难度：中等

若数列A_n：a₁，a₂，…，a_n（n≥2）满足|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…，n-1），则称A_n为E数列，记S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）写出一个E数列A₅满足a₁=a₃=0；
（Ⅱ）若a₁=12，n=2000，证明：E数列A_n是递增数列的充要条件是a_n=2011；
（Ⅲ）在a₁=4的E数列A_n中，求使得S（A_n）=0成立得n的最小值．

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，a₃=-3．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{a_n}的前k项和S_k=-35，求k的值．

4. 难度：中等

设b＞0，数列{a_n^}满足a₁=b，a_n=（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（4）证明：对于一切正整数n，2a_n≤bⁿ⁺¹+1．

5. 难度：中等

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b_n}中的b₃、b₄、b₅．
（I） 求数列{b_n}的通项公式；
（II） 数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n+}是等比数列．

6. 难度：中等

（1）已知两个等比数列{a_n}，{b_n}，满足a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3，若数列{a_n}唯一，求a的值；
（2）是否存在两个等比数列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不 为0的等差数列？若存在，求{a_n}，{b_n}的通项公式；若不存在，说明理由．

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=-10
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{}的前n项和．

8. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n，求数列{b_n}的前2n项和S_2n．

9. 难度：中等

已知数列{a_n} 和{b_n} 的通项公式分别为a_n=3n+6，b_n=2n+7 （n∈N^*）．将集合{x|x=a_n，n∈N^*}∪{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，…，c_n，…
（1）求三个最小的数，使它们既是数列{a_n} 中的项，又是数列{b_n}中的项；
（2）数列c₁，c₂，c₃，…，c₄₀ 中有多少项不是数列{b_n}中的项？请说明理由；
（3）求数列{c_n}的前4n 项和S_4n（n∈N^*）．

10. 难度：中等

已知﹛a_n﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，S_n为它的前n项和．
（Ⅰ）当S₁，S₃，S₄成等差数列时，求q的值；
（Ⅱ）当S_m，S_n，S_l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a_m+k ，a_n+k，a_l+k也成等差数列．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}与{b_n}满足．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）设c_n=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，证明{c_n}是等比数列．

12. 难度：中等

等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求数列{}的前n项和．

13. 难度：中等

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项a₁（a₁∈R），且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对n∈N^*，试比较与的大小．