Question

设b＞0，数列{a_n^}满足a₁=b，a_n=（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（4）证明：对于一切正整数n，2a_n≤bⁿ⁺¹+1．

Answer

（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列an的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．
（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．
【解析】
（1）∵（n≥2），
∴（n≥2），
当b=1时，（n≥2），
∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，
∴=1+（n-1）×1=n，即an=1，
当b＞0，且b≠1时，（n≥2），
即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，
∴=×=，即an=，
∴数列{an}的通项公式是
（2）证明：当b=1时，不等式显然成立
当b＞0，且b≠1时，an=，要证对于一切正整数n，2an≤bn+1+1，只需证2×≤bn+1+1，即证
∵
=
=（bn+1+1）×（bn-1+bn-2+…+b+1）
=（b2n+b2n-1+…+bn+2+bn+1）+（bn-1+bn-2+…+b+1）
=bn[（bn+bn-1+…+b2+b）+（++…+）]
≥bn（2+2+…+2）=2nbn
所以不等式成立，
综上所述，对于一切正整数n，有2an≤bn+1+1，