Question

已知﹛a_n﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，S_n为它的前n项和．
（Ⅰ）当S₁，S₃，S₄成等差数列时，求q的值；
（Ⅱ）当S_m，S_n，S_l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a_m+k ，a_n+k，a_l+k也成等差数列．

Answer

（Ⅰ）根据题意，写出等比数列﹛an﹜的前n项和是解决本题的关键，利用S1，S3，S4成等差数列寻找关于q的方程，通过解方程求出字母q的值；
（Ⅱ）根据Sm，Sn，S1成等差数列，利用等比数列的求和公式得出关于q的方程式是解决本题的关键，注意分类讨论思想和整体思想的运用．
【解析】
（Ⅰ）由已知得出an=a1q n-1，S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2），S4=a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3），
根据S1，S3，S4成等差数列得出2S3=S1+S4，
代入整理并化简，约去q和a1，得q2-q-1=0，
解得q=；
（Ⅱ）当q=1时，该数列为常数列，若Sm，Sn，Sl成等差数列，则也有am+k，an+k，a1+k成等差数列；
若q≠1，由Sm，Sn，S1成等差数列，则有2Sn=S1+Sm，
即有，
整理化简得2qn-1=qm-1+ql-1，两边同乘以a1，得2a1qn-1=a1qm-1+a1ql-1，即2an=am+al，
两边同乘以qk即可得到2an+k=am+k+al+k，
即am+k ，an+k，al+k成等差数列．