Question

已知数列{a_n} 和{b_n} 的通项公式分别为a_n=3n+6，b_n=2n+7 （n∈N^*）．将集合{x|x=a_n，n∈N^*}∪{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，…，c_n，…
（1）求三个最小的数，使它们既是数列{a_n} 中的项，又是数列{b_n}中的项；
（2）数列c₁，c₂，c₃，…，c₄₀ 中有多少项不是数列{b_n}中的项？请说明理由；
（3）求数列{c_n}的前4n 项和S_4n（n∈N^*）．

Answer

（1）分别由数列{an} 和{bn} 的通项公式分别为an和bn列举出各项，即可找出既是数列{an} 中的项，又是数列{bn}中的项的三个最小的数；
（2）根据题意列举出数列{cn}的40项，找出不是数列{bn}中的项即可；
（3）表示出数列{bn}中的第3k-2，3k-1及3k项，表示出数列{an} 中的第2k-1，及2k项，把各项按从小到大的顺序排列，即可得到数列{cn}的通项公式，并求出数列{cn}的第4k-3，4k-2，4k-1及4k项的和，把数列{cn}的前4n项和每四项结合，利用等差数列的前n项和的公式即可求出数列{cn}的前4n项和S4n．
【解析】
（1）因为数列{an} 和{bn} 的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7，
所以数列{an}的项为：9，12，15，18，21，24，…；数列{bn} 的项为：9，11，13，15，17，19，21，23，…，
则既是数列{an} 中的项，又是数列{bn}中的项的三个最小的数为：9，15，21；
（2）数列c1，c2，c3，…，c40的项分别为：
9，11，12，13，15，17，18，19，21，23，24，25，27，29，30，31，33，35，36，37，
39，41，42，43，45，47，48，49，51，53，54，55，57，59，60，61，63，65，66，67，
则不是数列{bn}中的项有12，18，24，30，36，42，48，54，60，66共10项；
（3）b3k-2=2（3k-2）+7=6k+3=a2k-1，b3k-1=6k+5，a2k=6k+6，b3k=6k+7，
∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7，
∴cn=，k∈N+，c4k-3+c4k-2+c4k-1+ck=24k+21，
则S4n=（c1+c2+c3+c4）+…+（c4k-3+c4k-2+c4k-1+c4k）=24×+21n=12n2+33n．