2007-2008学年湖南省永州市东安一中高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．偶函数的图象关于原点对称
B．菱形的对角线相等
C．空集是任何集合的子集
D．指数函数是增函数

2. 难度：中等

条件“x²-2x=0”是“x=0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

椭圆的左、右焦点分别是F₁、F₂，P是椭圆上一点，则△PF₁F₂的周长为（ ）
A．10
B．16
C．18
D．20

4. 难度：中等

双曲线的渐近线方程是（ ）
A．x±2y=0
B．2x±y=0
C．4x±y=0
D．x±4y=0

5. 难度：中等

下列结论：①（3）′=0，②（sinx）′=cosx，③（ex）′=ex，④（lnx）′=，其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

已知命题p：若x，y满足x²+y²=0，则x，y全为0．命题q：函数y=f（x）  x∈[a，b]的最大值一定是它的极大值．   在“p∧q”、“p∨q”、“┓p”中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

椭圆长轴上的两端点A₁（-3，0），A₂（3，0），两焦点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若点A的坐标为，F是抛物线y²=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（ ）
A．（0，0）
B．
C．
D．（2，2）

9. 难度：中等

双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF₂垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数y=f（x）的导数函数y=f′（x）的图象（如图），则当函数y=f（x）取得极大值时，x的值是（ ）

A．x₁
B．x₂
C．x₃
D．x₄

二、填空题

11. 难度：中等

特称命题p：“∃x∈R，x²-x+1≥0”的否定是：“    ”．

12. 难度：中等

函数y=2x-x²，x∈[0，2]的最大值是    ．

13. 难度：中等

抛物线y²=4x的焦点为F，P（4，y）在抛物线上，则|PF|=    ．

14. 难度：中等

若直线x-y=1与椭圆交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是    ．

15. 难度：中等

曲线y=x³+x-2的一条切线平行于直线y=4x-1，则切点P的坐标为     ．

16. 难度：中等

若双曲线与的离心率分别为e₁，e₂，则当a，b变化时，e₁²+e₂²的最小值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知三点P、F₁（3，0）、F₂（-3，0）．求以F₁、F₂为焦点且过点P的双曲线的标准方程．

18. 难度：中等

已知抛物线 y=x²-4与直线y=x+2．
（1）求两曲线的交点；
（2）求抛物线在交点处的切线方程．

19. 难度：中等

已知：A（-5，0）、B（5，0），直线AM，BM交于M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程，并说明该轨迹是何曲线．

20. 难度：中等

已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-与x=1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间．
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．