2010-2011学年江西省南昌市莲塘一中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．2
B．2
C．
D．1

2. 难度：中等

在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行

3. 难度：中等

双曲线方程为x²-2y²=1，则它的右焦点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y²=24x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线的准线上的射影为A₁、B₁，则∠A₁FB₁=（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

7. 难度：中等

过双曲线2x²-y²-8x+6=0的由焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（ ）
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条

8. 难度：中等

下列命题中真命题的个数为（ ）
①命题“若x²+y²=0，则x，y全为0”的逆命题；
②命题“全等三角形是相似三角形”的否命题；
③命题“若m＞0，则x²+x-m=0有实根”的逆否命题；
④命题“在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若∠C=90°，则c²=a²+b²”的逆否命题．
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．x-2y=0
B．x+2y-4=0
C．2x+3y-12=0
D．x+2y-8=0

10. 难度：中等

设椭圆和双曲线的公共焦点分别为F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则cos∠F₁PF₂的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）
A．直线
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线

12. 难度：中等

双曲线x²-y²=2010的左、右顶点分别为A₁、A₂，P为其右支上的一点，且∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，则∠PA₁A₂等于（ ）
A．无法确定
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

抛物线的焦点坐标是    ．

14. 难度：中等

F₁，F₂是椭圆C：的焦点，在C上满足PF₁⊥PF₂的点P的个数为    ．

15. 难度：中等

已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，AB=2，AC、BC分别和平面α成45°和30°角，则AB到平面α的距离为    

16. 难度：中等

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点，己知成等差数列，且与同向，则双曲线的离心率    ．

三、解答题

17. 难度：中等

（1）点M到点F（2，0）的距离比它到直线x=-3的距离小1，求点M满足的方程．
（2）曲线上点M（x，y）到定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离比是常数2，求曲线方程．

18. 难度：中等

曲线方程：x²-my²=1，讨论m取不同值时，方程表示的是什么曲线？

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD：
①求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
②求二面角E-BD-C的余弦值．

20. 难度：中等

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B．
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

如图，已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且=．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，，求λ₁+λ₂的值．

22. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设=λ．
（Ⅰ）证明：λ=1-e²；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．