2010-2011学年吉林省吉林市高三（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={0，4}，B={2，a²}，则“a=2”是“A∩B={4}”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知复数z₁=1-2i，则的虚部是（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

3. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知向量a=（1，2），b=（-3，2）若ka+b∥a-3b，则实数k=（ ）
A．
B．
C．-3
D．3

5. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-2x²+2有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，，则 α∥β；
③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．③④

7. 难度：中等

阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2]
B．[-2，-1]
C．[-1，2]
D．[2，+∞）

8. 难度：中等

下列命题正确的有
①用相关指数R²来刻画回归效果越小，说明模型的拟合效果越好；
②命题p：“∃x∈R，x²-x-1＞0”的否定¬p：“∀x∈R，x²-x-1≤0”；
③回归直线一定过样本中心（）；
④若a=0.3²，b=2^0.3，c=log_0.32，则c＜a＜b；（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

9. 难度：中等

在△ABC中，三边之比a：b：c=2：3：4，则=（ ）
A．1
B．2
C．-2
D．

10. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．函数y=sin（2x+）在区间内单调递增
B．函数y=cos⁴x-sin⁴x的最小正周期为2π
C．函数y=cos（x+）的图象是关于点（，0）成中心对称的图形
D．函数y=tan（x+）的图象是关于直线x=成轴对称的图形

11. 难度：中等

对于R上的可导的任意函数f（x），若满足（x²-3x+2）f'（x）≤0，则函数f（x）在区间[1，2]上必有（ ）
A．f（1）≤f（x）≤f（2）
B．f（x）≤f（1）
C．f（x）≥f（2）
D．f（x）≤f（1）或f（x）≥f（2）

12. 难度：中等

若实数x，y满足约束条件，则目标函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．6
B．
C．
D．5

二、填空题

13. 难度：中等

如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为    ．

14. 难度：中等

圆心在直线y=-4x上，并且与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2）的圆的方程为    ．

15. 难度：中等

已知，，则tan（2α-β）=    ．

16. 难度：中等

已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的前项和为S_n，点（n，S_n）在函数的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前项和T_n．

18. 难度：中等

某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．图（1）为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．
（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；

（Ⅱ）若不低于120分的同学进入决赛，不低于140分的同学为种子选手，完成下面2×2
列联表（即填写空格处的数据），并判断是否有99%的把握认为“进入决赛的同学
成为种子选手与专家培训有关”．

		[140，150]	合计
参加培训	5		8
未参加培训
合计		4

附：

P（K^2≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

19. 难度：中等

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角．
（Ⅰ）若D是AC中点，求证：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求该五面体的体积．

20. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）且AF₂=2F₂B，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数在x=1处取到极值2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数．若对任意的x₁∈R，总存在x₂∈[1，e]，使得，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC．

23. 难度：中等

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为 ρcos²θ=2sinθ
（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，证明：=0．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a-1
（1）当a=1，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．