2013年江苏省苏北三市高考数学一模试卷（宿迁、徐州、淮安）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁_UA）∩B=    ．

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，实数a，b满足（3+4i）（a+bi）=10i，则3a-4b的值是    ．

3. 难度：中等

一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出    人．

4. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是    ．

5. 难度：中等

若一个长方体的长、宽、高分别为，，1，则它的外接球的表面积是    ．

6. 难度：中等

从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是    ．

7. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂a₈=2a₃a₆，S₅=-62，则a₁的值是    ．

8. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为F，若以F为圆心的圆x²+y²-6x+5=0与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为    ．

9. 难度：中等

由命题“存在x∈R，使x²+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是    ．

10. 难度：中等

已知实数x，y满足约束条件（k为常数），若目标函数z=2x+y的最大值是，则实数k的值是    ．

11. 难度：中等

已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知角φ的终边经过点P（1，-1），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上的任意两点，若|f（x₁）-f（x₂）|=2时，|x₁-x₂|的最小值为，则的值是    ．

13. 难度：中等

若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则的最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC．
（1）求角A的值；
（2）求的最大值．

16. 难度：中等

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且，AD=CD=1．
（1）求证：BD⊥AA₁；
（2）若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC₁D₁．

17. 难度：中等

如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°．
（1）求BC的长度；
（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的张角分别为∠APB=α，∠DPC=β，问点P在何处时，α+β最小？

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调增区间；
（3）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知a＞0，b＜0，且a+b≠0，令a₁=a，b₁=b，且对任意的正整数k，当a_k+b_k≥0时，，；当a_k+b_k＜0时，，．
（1）求数列{a_n+b_n}的通项公式；
（2）若对任意的正整数n，a_n+b_n＜0恒成立，问是否存在a，b使得{b_n}为等比数列？若存在，求出a，b满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）若对任意的正整数n，a_n+b_n＜0，且，求数列{b_n}的通项公式．

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．
求证：FG∥AC．

22. 难度：中等

选修：4-2：矩阵与变换
若圆C：x²+y²=1在矩阵（a＞0，b＞0）对应的变换下变成椭圆E：，求矩阵A的逆矩阵A^-1．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． 若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．

24. 难度：中等

已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

25. 难度：中等

如图，已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x₁，y₁）（y₁＞0），B（x₂，y₂）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．
（1）若，求直线l的斜率；
（2）求∠ATF的最大值．

26. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，且a₁=3．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想数列{a_n}的通项公式，并给出证明；
（2）求证：当n≥2时，．