Question

如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则的最小值为    ．

Answer

由等腰△ABC中，AB=AC=1且A=120°，算出=-．连接AM、AN，利用三角形中线的性质，得到=（）且=（+），进而得到=-=（1-m）+（1-n）．将此式平方，代入题中数据化简可得=（1-m）2-（1-m）（1-n）+（1-n）2，结合m+4n=1消去m，得=n2-n+，结合二次函数的性质可得当n=时，的最小值为，所以的最小值为．
【解析】
连接AM、AN，
∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，
∴=||•||cos120°=-
∵AM是△AEF的中线，
∴=（）=（+）
同理，可得=（+），
由此可得=-=（1-m）+（1-n）
∴=[（1-m）+（1-n）]2=（1-m）2+（1-m）（1-n）•+（1-n）2
=（1-m）2-（1-m）（1-n）+（1-n）2，
∵m+4n=1，可得1-m=4n
∴代入上式得=×（4n）2-×4n（1-n）+（1-n）2=n2-n+
∵m，n∈（0，1），
∴当n=时，的最小值为，此时的最小值为．
故答案为：