Question

如图，已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x₁，y₁）（y₁＞0），B（x₂，y₂）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．
（1）若，求直线l的斜率；
（2）求∠ATF的最大值．

Answer

（1）由题意可得F（1，0），T（-1，0），当直线l与x轴垂直时，经过检验不满足条件．设直线l的方程为y-0=k（x-1），代入抛物线C的方程，利用根与系数的关系求得 x1+x2=，且x1•x2=1，且 y1y2=-4．结合求得k的值．
（2）根据 y1＞0，tan∠ATF===，利用基本不等式求得tan∠ATF 的最大值，从而求得∠ATF 的最大值．
【解析】
（1）由题意可得F（1，0），T（-1，0），当直线l与x轴垂直时，A（1，2），B（1，-2），此时，，
这与矛盾．
故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y-0=k（x-1），代入抛物线C：y2=4x的方程化简可得 k2 x2-（2k2+4）x+k2=0．
∴x1+x2=，且x1•x2=1…①．
∴=16x1•x2=16，∴y1y2=-4…②．
由可得 （x1+1）（x2+1）+y1•y2=1．
把①②代入可得 k2=4，∴k=±2．
（2）∵y1＞0，tan∠ATF===≤1，当且仅当=，即 y1=2时，取等号，
故tan∠ATF 的最大值为1，故∠ATF的最大值为 ．