Question

已知数列{a_n}满足，且a₁=3．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想数列{a_n}的通项公式，并给出证明；
（2）求证：当n≥2时，．

Answer

（1）由，且a1=3，分别令 n=1，2，3即可求解，进而可猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可
（2）由（1）可得an=n+2，从而有=（n+2）n，利用二项式定理展开后即可证明
【解析】
（1）∵，且a1=3．
∴a2=4，a3=5，a4=6
猜想an=n+2
证明：①当n=1时显然成立
②假设n=k时（k≥1）时成立，即ak=k+2
则n=k+1时，ak+1==
=即n=k+1时命题成立
综上可得，an=n+2
证明：（2）∵an=n+2，n≥2
∴=（n+2）n=
≥
=5nn-2nn-1=4nn+nn-1（n-2）≥4nn，即证