2009-2010学年重庆市南开中学高三（下）5月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算=（ ）
A．i
B．-1+i
C．1+i
D．-1

2. 难度：中等

数列{x_n}中，若x₁=1，，则x₂₀₁₀的值为（ ）
A．-1
B．
C．
D．1

3. 难度：中等

不等式＜1的解集为（ ）
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}
B．{x|0＜x＜1}
C．{x|-1＜x＜0}
D．{x|x＜0}

4. 难度：中等

函数的图象上相邻两条对称轴间的距离是，则ω的一个值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=，则“c=-1”是“函数f（x）在R上递增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

若函数f（x）=（x²+bx+c）e^-x在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减，在（-1，1）上单调递增，则b+c的值为（ ）
A．3
B．-1
C．1
D．-3

7. 难度：中等

将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向左数，黑球的个数总是不小于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知圆C的半径为3，直径AB上一点D使，E，F为另一直径的两个端点，则=（ ）
A．-3
B．-4
C．-8
D．-9

9. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么就称y=f（x）为“成功函数”．若函数g（x）=log_a（a^2x+t）（a＞0，a≠1）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围为（ ）
A．（0，+∞）
B．（-∞，0）
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

在一次数学考试中，随机抽取100名同学的成绩作为一个样本，其成绩的分布情况如下：

成绩	（10，50]	（50，60]	（60，70]	（70，80]	（80，90]	（90，100]
人数分布	9	18	23	27	15	8

则该样本中成绩在（80，100]内的频率为    ．

12. 难度：中等

若（）^a的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是    ．

13. 难度：中等

正三棱柱有内切球，则此正三棱柱与它的内切球的体积之比为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=（a+cosx）（a+sinx）（其中a≥0）的最大值g（a）=    ．

15. 难度：中等

已知集合为{1，，，…，}，它的所有的三个元素的子集的和是S_n，则=    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，边a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且
（1）求角A的度数；
（2）若，求△ABC的面积S．

17. 难度：中等

如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域数为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ，每一次游戏得到奖励分为ξ
（1）求x＜2且y＞1的概率；
（2）某人进行了12次游戏，求他平均可以得到的奖励分．

18. 难度：中等

如图，已知ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且FB=2DE=2．
（1）求证：平面AEC⊥平面AFC；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，求实数λ的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求实数t的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆的右准线l₁：x=2与x轴相交于点D，右焦点F到上顶点的距离为，点C（m，0）在线段OF上．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得？若存在，求出l的斜率；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：是公差为1的等差数列，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求证：．