Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，求实数λ的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）直接根据函数f（x）=ln（ex+a）是实数集R上的奇函数，则f（0）=0解之即可求出a的取值；
（2）利用g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立得出λ≤-cosx再结合三角函数的性质即可求λ的取值范围；
（3）先利用函数g（x）在[-1，1]上单调递减，求出其最大值，再把g（x）≤t2-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立转化为其最大值小于等于t2-λt+1恒成立，进而得到（1-t）λ+t2+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立，再利用二次函数恒成立问题的解法即可求t出的取值范围．
【解析】
（1）∵函数f（x）=ln（ex+a）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0所以a=0．…（3分）
（2）g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立
∴λ≤-cosx．…（5分）
又∵cosx∈[cos1，1]，∴-cosx∈[-1，-cos1]．∴λ≤-1．…（8分）
（3）∵g（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴g（x）max=g（-1）=-λ-sin1．
只需-λ-sin1≤t2+λt+1．∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0，其中λ≤-1恒成立．…（10分）
令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1，
则 ∴
而t2-t+sin1≥0恒成立，
∴t≤-1．…（13分）