2011年上海市奉贤区高考数学三模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数y=lg（2011^x-1）的定义域是    ．

2. 难度：中等

若，，则x=    （结果用反三角函数表示）

3. 难度：中等

已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为    ．

4. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线DB与B₁C所成角的为    ．

5. 难度：中等

若复数3+i是实系数一元二次方程x²-6x+b=0的一个根，则b=    ．

6. 难度：中等

已知的夹角为，则在上的投影为    ．

7. 难度：中等

在二项式（x²-）⁵的展开式中，含x⁴的项的系数是    ．

8. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a_n＞0，且a₁•a₂•…•a₇•a₈=16，则a₄+a₅的最小值为    ．

9. 难度：中等

已知双曲线k²x²-y²=1（k＞0）的一条渐近线的法向量是（1，2），那么k=    ．

10. 难度：中等

设函数y=f（x）=a^x（a＞0，a≠1），y=f^-1（x）表示y=f（x）的反函数，定义如框图表示的运算，若输入x=-2，输出，当输出y=-3时，则输入x=    ．

11. 难度：中等

（理）如下表，已知离散型随机变量ξ的分布列，则Dξ为    ．

ξ	-2		2
p			m

12. 难度：中等

为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方图如下，由于不幸将部分数据丢失，但知道前4组的频率成等比数列，后6组的频率成等差数列，设最大的频率为a，视力在4.6到达5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为    、    ．

13. 难度：中等

（理）已知平面直角坐标内两点A（0，2），B（-4，0），AB的中点是M，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则M的极坐标为    （角用反三角表示）

14. 难度：中等

（文）设x，y满足约束条件若的最小值为，则a的值    ．

15. 难度：中等

（文） 如图都是由边长为1的正方体叠成的图形．例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第n个图形的表面积是    个平方单位．

16. 难度：中等

（理）在空间直角坐标系O-xyz中，满足条件[x]²+[y]²+[z]²≤1的点（x，y，z）构成的空间区域Ω₂的体积为V₂（[x]，[y]，[z]分别表示不大于x，y，z的最大整数），则V₂=    ．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，设点P（X，Y）定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点，对于以下结论：①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
②设P为直线+2y-2=0上任意一点，则[OP]的最小值为1；
③设P为直线y=kx+b（k，b∈R）上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个”的必要不充分条件是“k=±1”；其中正确的结论有    （填上你认为正确的所有结论的序号）

二、选择题

18. 难度：中等

在△ABC中，“ccosB=bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为，则=（ ）
A．1
B．
C．1或
D．不存在

20. 难度：中等

（文）将图所示的一个直角三角形ABC（∠C=90°）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的（ ）

A．
B．
C．
D．

21. 难度：中等

（理）已知函数f（x）=2x+1，x∈R．规定：给定一个实数x，赋值x₁=f（x），若x₁≤255，则继续赋值x₂=f（x₁） …，以此类推，若x_n-1≤255，则x_n=f（x_n-1），否则停止赋值，如果得到x_n后停止，则称赋值了n次（n∈N^*）．已知赋值k次后该过程停止，则x的取值范围是（ ）
A．（2^k-9，2^k-8]
B．（2^k-8-1，2^k-9-1]
C．（2^8-k-1，2^9-k-1]
D．（2^7-k-1，2^8-k-1]

22. 难度：中等

（文）已知f（n）是关于正整数n的命题．小明证明了命题f（1），f（2），f（3）均成立，并对任意的正整数k，在假设f（k）成立的前提下，证明了f（k+m）成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明f（n）对一切正整数n均成立，则m的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

23. 难度：中等

行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），1+f（x）的零点属于区间（ ）
A．（，1）
B．（，）
C．（，）
D．（0，）

三、解答题

24. 难度：中等

用2π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y
（1）建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到0.01m³）

25. 难度：中等

（理）设函数．
（1）当a=2时，用函数单调性定义求f（x）的单调递减区间
（2）若连续掷两次骰子（骰子六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）得到的点数分别作为a和b，求f（x）＞b²恒成立的概率．

26. 难度：中等

（文）设函数．
（1）当a=2，解不等式f（x）＞9
（2）若连续掷两次骰子（骰子六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）得到的点数分别作为a和b，求f（x）＞b²恒成立的概率．

27. 难度：中等

（理）已知和，点T（x，y）满足，O为直角坐标原点，
（1）求点T的轨迹方程Γ；
（2）任意一条不过原点的直线L与轨迹方程Γ相交于点P，Q两点，三条直线OP，OQ，PQ的斜率分别是k_OP、k_OQ、k_PQ，
k_PQ²=k_OP•k_OQ，求k_PQ．

28. 难度：中等

已知和，点T（x，y）满足，O为直角坐标原点，
（1）求点T的轨迹方程Γ；
（2）过点（0，1）且以为方向向量的一条直线与轨迹方程Γ相交于点P，Q两点，OP，OQ所在的直线的斜率分别是k_OP、k_OQ，求k_OP•k_OQ的值．

29. 难度：中等

（理）已知函数，，α，β是参数，x∈R，，
（1）若，判别h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性；
若，判别h（x）=f²（x）+g²（x）的奇偶性；
（2）若，t（x）=f（x）g（x）是偶函数，求β；
（3）请你仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例．（不必证明命题）
将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

30. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=2，前n项和为S_n，．
（Ⅰ）若数列{b_n}满足b_n=a_2n+a_2n+1（n≥1），试求数列{b_n}前n项和T_n；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=a_2n，试判断c_n是否为等比数列，并说明理由；
（Ⅲ）当时，问是否存在n∈N^*，使得（S_2n+1-10）c_2n=1，若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．