2010年甘肃省兰州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={-1，1}，，则M∩N=（ ）
A．{-1，1}
B．{-1}
C．{0}
D．{-1，0}

2. 难度：中等

当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a^-x与y=log_ax的图象（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知，向量与向量的夹角是，则x的值为（ ）
A．±3
B．
C．±9
D．3

4. 难度：中等

己知直线l，m，n，平面α，β，有以下命题：
①l⊥m，l⊥n且m、n⊂α，则l⊥α
②m∥α，n∥α且m、n⊂β则α∥β
③l⊥α，l⊥β则α∥β
④若平面a内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β
则正确命题有（ ）
A．O个
B．1个
C．2个
D．3个

5. 难度：中等

“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

若称为n个正数，a₁，a₂…，a_n的“均倒数”，数列{a_n}的各项均为正，但其前n项的“均倒数”为，则数列{a_n}的通项公式为（ ）
A．2n-1
B．4n-3
C．4n-1
D．4n-5

7. 难度：中等

某位高三学生要参加高校自主招生考试，现从6所高校中选择3所报考，其中两所学校的考试时间相同．则该学生不同的报名方法种数是（ ）
A．12
B．15
C．16
D．20

8. 难度：中等

把一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b．设事件A“方程组只有一组解”，则事件A发生的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知在函数f（x）图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x²+y²=R²上，则f（x）的最小正周期为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

己知奇函数y=f（x）在（-∞，0）为减函数，且f（2）=0，则不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集为（ ）
A．{x|-3＜x＜-1}
B．{x|-3＜x＜1或x＞2}
C．{x|-3＜x＜0或x＞3}
D．{x|-1＜x＜1或1＜x＜3}

11. 难度：中等

已经点P（-3，1）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的左准线上，过点P且方向向量为=（-2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过双曲线的左焦点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设二元一次不等式组所表示的平面区域为M．若曲线x²-my²=1总经过区域M，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，）
B．[15，+∞）
C．（，15）
D．[，15]

二、解答题

13. 难度：中等

二项式（1-xi）ⁿ（x∈R，i为虚数单位）的展开式中含x²项的系数等于-28，则n=    ．

14. 难度：中等

为了解高三学生的数学学习情况，现抽取某班60名学生的数学成绩进行分析，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图）．已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是    

15. 难度：中等

在半径为R的球面上有不同的三点A、B、C，已知A、B、C三点中任意两点的球面距离均为R．O为球心，则三棱锥．O一ABC的体积为   

16. 难度：中等

如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元∕km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是    万元．

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知sinA=．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求实数m的值；
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．

18. 难度：中等

已知在各项不为零的数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N⁺）
（I）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1，数列{b_n}的前n项和为S_n，求．

19. 难度：中等

在美化校园的植树活动中，某同学共种了6棵树，各棵树的成活与否是相互独立的每棵树成活的概率均为p．已知该同学所种树中有3棵成活的概率为．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若有3棵或3棵以上的树未成活，则需要补种，求需要补种的概率；
（Ⅲ）设ξ为成活树的棵数，求Eξ．

20. 难度：中等

如图．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD上的点，AM与BC所成的角为，
AN⊥SC，垂足为点N．
（I）求证：SB∥平面ACM；
（ II）求直线AC与平面SDC所成的角；
（Ⅲ）求二面角N-AM-C的大小．

21. 难度：中等

己知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（O，-b）和B（a，o）的直线到原点的距离为．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+2（k≠o）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点？若存在，求出k，若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．