2010年高考数学模拟试卷（3）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，则正确表示集合和的关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知复数z=1-2i，那么=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

命题“若一个三角形是等边三角形，则这个三角形的三个内角相等”的否命题是（ ）
A．若一个三角形是等边三角形，则这个三角形的三个内角不相等
B．若一个三角形是等边三角形，则这个三角形的三个内角不全相等
C．若一个三角形不是等边三角形，则这个三角形的三个内角不相等
D．若一个三角形不是等边三角形，则这个三角形的三个内角不全相等

4. 难度：中等

甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别是X_甲、X_乙，则下列结论正确的是（ ）

A．X_甲＞X_乙，甲比乙成绩稳定
B．X_甲＞X_乙，乙比甲成绩稳定
C．X_甲＜X_乙，甲比乙成绩稳定
D．X_甲＜X_乙，乙比甲成绩稳定

5. 难度：中等

在空间直角坐标系O-xyz中，点A、B、C、D的坐标分别为A（1，，0，，0）、B（0，，2，，0）、C（2，，4，，0）、D（1，，2，，2），则三棱锥A-BCD的体积是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．10

6. 难度：中等

双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．2
B．2
C．
D．1

7. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₃=6，其前9项和S₉=90，则经过（5，a₅）与（7，a₇）两点的直线的斜率为（ ）
A．
B．-2
C．
D．2

8. 难度：中等

一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）

A．
B．
C．6
D．12

9. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=2cos²
B．y=2sin²
C．
D．y=cos2

10. 难度：中等

已知函数的两个极值点分别为x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），则b-3a的取值范围是（ ）
A．（3，10）
B．（-∞，3）∪（10，+∞）
C．（-6，-1）
D．（-∞，-6）∪（-1，+∞）

11. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x-b）²＞（ax）²的解集中的整数恰有3个，则（ ）
A．-1＜a＜0
B．0＜a＜1
C．1＜a＜3
D．2＜a＜3

二、解答题

13. 难度：中等

抛物线y=2px²（p＞0）的准线方程是    ．

14. 难度：中等

已知f（x）=x³+2xf′（1），则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为     ．

15. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x+y的取值范围是    ．

16. 难度：中等

在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为    ．

17. 难度：中等

已知，则的展开式中的常数项为    ．

18. 难度：中等

已知函数y=log_a^（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中
最小值为    ．

19. 难度：中等

如图，AB为☉C的直径，弦AC，BD交于点P，若AB=3，CD=1，则sin∠APD=    ．

20. 难度：中等

在极坐标系中，曲线C的方程是ρ=2cosθ，过点作曲线C的切线，则切线长等于     ．

21. 难度：中等

设向量，向量，0≤α＜π．
（1）若向量⊥，求tanα的值；
（2）求的最大值及此时α的值．

22. 难度：中等

如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设不等式组所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y）．
（Ⅰ）若x，y∈Z，求点M位于第一象限的概率；
（Ⅱ）若x，y∈R，求|OM|≤2的概率．

24. 难度：中等

有人预测：在2010年的广州亚运会上，排球比赛的决赛将在中国队与日本队之间展开，据以往统计，中国队在每局比赛中胜日本队的概率为，比赛采取五局三胜制，即谁先胜三局谁就获胜，并停止比赛．
（1）求中国队以3：1获胜的概率．
（2）设ξ表示比赛的局数，求ξ的分布列与数学期望．

25. 难度：中等

如图，多面体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形BCDE为平行四边形，且CD⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥平面ACD；
（2）若AB=5，BC=4，，求多面体ABCDE的体积．

26. 难度：中等

如图（1），在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别是线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如图（2）．
（1）求证：PA∥平面EFG．
（2）求二面角G-EF-C的大小．
（3）在线段PB上是否存在这样的点Q，使PC⊥平面ADQ，若存在，请指出它的位置；若不存在，请说明理由．

27. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ与圆O相切；
（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

28. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，且对任意的n∈N₊，有．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求数列{b_n}的前n项和T_n．

29. 难度：中等

已知数列{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}和数列{b_n}满足等式a_n=（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

30. 难度：中等

已知函数．
（1）当b=2a时，求函数f（x）的极值？
（2）已知b＞0，且函数f（x）在区间（0，2]上单调递增，试用b表示出a的取值范围．

31. 难度：中等

设函数f（x）=lnx-ax+1，其中a为常数．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）求证：．

32. 难度：中等

在长为10cm的线段AB上取一点G，并以AG为半径作一个圆，求圆的面积介于36πcm²到64πcm²的概率．