1. 难度:简单 | |
已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则 (A) (B) (C)A=B (D)A∩B=Æ 【解析】集合,又,所以B是A的真子集,选B.
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2. 难度:简单 | |
复数z=的共轭复数是 (A)2+i (B)2-i (C)-1+i (D)-1-i 【解析】,所以其共轭复数为,选D.
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3. 难度:简单 | |
在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为 (A)-1 (B)0 (C) (D)1 【解析】根据样子相关系数的定义可知,当所有样本点都在直线上时,相关系数为1,选D.
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4. 难度:简单 | |
设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )
【解析】因为是底角为的等腰三角形,则有,,因为,所以,,所以,即,所以,即,所以椭圆的离心率为,选C.
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5. 难度:简单 | |
已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是 (A)(1-,2) (B)(0,2) (C)(-1,2) (D)(0,1+) 【解析】 做出三角形的区域如图,由图象可知当直线经过点B时,截距最大,此时,当直线经过点C时,直线截距最小.因为轴,所以,三角形的边长为2,设,则,解得,,因为顶点C在第一象限,所以,即代入直线得,所以的取值范围是,选A.
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6. 难度:简单 | |
如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,aN,输出A,B,则 (A)A+B为a1,a2,…,aN的和 (B)为a1,a2,…,aN的算术平均数 (C)A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数 (D)A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数 【解析】根据程序框图可知,这是一个数据大小比较的程序,其中A为最大值,B为最小值,选C.
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7. 难度:中等 | |
如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )
【解析】选由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为,所以几何体的体积为,选B.
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8. 难度:中等 | |
平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为 (A)π (B)π (C)4π (D)π 【解析】球半径,所以球的体积为,选B.
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9. 难度:困难 | |
已知ω>0,,直线和是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ= (A) (B) (C) (D) 【解析】因为和是函数图象中相邻的对称轴,所以,即.又,所以,所以,因为是函数的对称轴所以,所以,因为,所以,检验知此时也为对称轴,所以选A.
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10. 难度:困难 | |
等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为( )
【解析】设等轴双曲线方程为,抛物线的准线为,由,则,把坐标代入双曲线方程得,所以双曲线方程为,即,所以,所以实轴长,选C.
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11. 难度:困难 | |
当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是 (A)(0,) (B)(,1) (C)(1,) (D)(,2) 【解析】当时,显然不成立.若时 当时,,此时对数,解得,根据对数的图象和性质可知,要使在时恒成立,则有,如图选B.
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12. 难度:困难 | |
数列{an}满足an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前60项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 【解析】由得, , 即,也有,两式相加得,设为整数, 则, 于是
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13. 难度:简单 | |
曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________ 【解析】函数的导数为,所以在的切线斜率为 ,所以切线方程为,即.
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14. 难度:简单 | |
等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=_______ 【解析】显然公比,设首项为,则由,得,即,即,即,所以,解得.
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15. 难度:中等 | |
已知向量夹角为 ,且;则 【解析】因为,所以,即,所以,整理得,解得或(舍去).
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16. 难度:中等 | |
设函数f(x)= 的最大值为M,最小值为m,则M+m=____ 【解析】,令,则为奇函数,对于一个奇函数来说,其最大值与最小值之和为0,即,而,,所以.
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17. 难度:简单 | |
已知,,分别为三个内角,,的对边,. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若=2,的面积为,求,. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题. 【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得
由于,所以, 又,故. (Ⅱ) 的面积==,故=4, 而 故=8,解得=2
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18. 难度:简单 | |||||||||||||||||
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式。 (Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率. 【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率,是简单题. 【解析】(Ⅰ)当日需求量时,利润=85; 当日需求量时,利润, ∴关于的解析式为; (Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的平均利润为 =76.4; (ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝,故当天的利润不少于75元的概率为
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19. 难度:中等 | |
如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点。 (I) 证明:平面⊥平面 (Ⅱ)平面分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算,考查空间想象能力、逻辑推理能力,是简单题. 【解析】(Ⅰ)由题设知BC⊥,BC⊥AC,,∴面, 又∵面,∴, 由题设知,∴=,即, 又∵, ∴⊥面, ∵面, ∴面⊥面; (Ⅱ)设棱锥的体积为,=1,由题意得,==, 由三棱柱的体积=1, ∴=1:1, ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1
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20. 难度:困难 | |
设抛物线:(>0)的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于,两点. (Ⅰ)若,的面积为,求的值及圆的方程; (Ⅱ)若,,三点在同一条直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到,距离的比值. 【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力. 【解析】设准线于轴的焦点为E,圆F的半径为, 则|FE|=,=,E是BD的中点, (Ⅰ) ∵,∴=,|BD|=, 设A(,),根据抛物线定义得,|FA|=, ∵的面积为,∴===,解得=2, ∴F(0,1), FA|=, ∴圆F的方程为:; (Ⅱ) 解析1∵,,三点在同一条直线上, ∴是圆的直径,, 由抛物线定义知,∴,∴的斜率为或-, ∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=, 设直线的方程为:,代入得,, ∵与只有一个公共点, ∴=,∴, ∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=, ∴坐标原点到,距离的比值为3. 解析2由对称性设,则 点关于点对称得: 得:,直线 切点 直线 坐标原点到距离的比值为
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21. 难度:困难 | |
如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点,若CF∥AB,证明: (Ⅰ) CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD. 【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识,是简单题. 【解析】(Ⅰ) ∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE∥BC, ∵CF∥AB, ∴BCFD是平行四边形, ∴CF=BD=AD, 连结AF,∴ADCF是平行四边形, ∴CD=AF, ∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC; (Ⅱ) ∵FG∥BC,∴GB=CF, 由(Ⅰ)可知BD=CF,∴GB=BD, ∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD
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22. 难度:困难 | |
已知曲线的参数方程是(是参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:的极坐标方程是=2,正方形ABCD的顶点都在上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,). (Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标; (Ⅱ)设P为上任意一点,求的取值范围. 【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标,是容易题型. 【解析】(Ⅰ)由已知可得,, ,, 即A(1,),B(-,1),C(―1,―),D(,-1), (Ⅱ)设,令=, 则==, ∵,∴的取值范围是[32,52]
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23. 难度:困难 | |
已知函数=. (Ⅰ)当时,求不等式 ≥3的解集; (Ⅱ) 若≤的解集包含,求的取值范围. 【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法,是简单题. 【解析】(Ⅰ)当时,=, 当≤2时,由≥3得,解得≤1; 当2<<3时,≥3,无解; 当≥3时,由≥3得≥3,解得≥8, ∴≥3的解集为{|≤1或≥8}; (Ⅱ) ≤, 当∈[1,2]时,==2, ∴,有条件得且,即, 故满足条件的的取值范围为[-3,0]
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