已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是
(A)(1-,2) (B)(0,2)
(C)(
-1,2) (D)(0,1+
)
【解析】 做出三角形的区域如图,由图象可知当直线
经过点B时,截距最大,此时
,当直线经过点C时,直线截距最小.因为
轴,所以
,三角形的边长为2,设
,则
,解得
,
,因为顶点C在第一象限,所以
,即
代入直线
得
,所以
的取值范围是
,选A.
设是椭圆
的左、右焦点,
为直线
上一点,
是底角为
的等腰三角形,则
的离心率为( )
【解析】因为是底角为
的等腰三角形,则有
,
,因为
,所以
,
,所以
,即
,所以
,即
,所以椭圆的离心率为
,选C.
在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为
(A)-1 (B)0
(C) (D)1
【解析】根据样子相关系数的定义可知,当所有样本点都在直线上时,相关系数为1,选D.
复数z=的共轭复数是
(A)2+i (B)2-i (C)-1+i (D)-1-i
【解析】,所以其共轭复数为
,选D.
已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则
(A)
(B)
(C)A=B
(D)A∩B=Æ
【解析】集合,又
,所以B是A的真子集,选B.
已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】【解析】令
.
当时
单调递减;当
时
单调递增,故当
时,
取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当
. ①
令则
当时,
单调递增;当
时,
单调递减.
故当时,
取最大值
.因此,当且仅当
时,①式成立.
综上所述,的取值集合为
.
(Ⅱ)由题意知,令
则
令,则
.当
时,
单调递减;当
时,
单调递增.故当
,
即
从而,
又
所以因为函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在
使
即
成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值
对一切x∈R,f(x)
1恒成立转化为
从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.