已知函数=
.
(Ⅰ)当时,求不等式
≥3的解集;
(Ⅱ) 若≤
的解集包含
,求
的取值范围.
【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法,是简单题.
【解析】(Ⅰ)当时,
=
,
当≤2时,由
≥3得
,解得
≤1;
当2<<3时,
≥3,无解;
当≥3时,由
≥3得
≥3,解得
≥8,
∴≥3的解集为{
|
≤1或
≥8};
(Ⅱ) ≤
,
当∈[1,2]时,
=
=2,
∴,有条件得
且
,即
,
故满足条件的的取值范围为[-3,0]
已知曲线的参数方程是
(
是参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
:的极坐标方程是
=2,正方形ABCD的顶点都在
上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,
).
(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;
(Ⅱ)设P为上任意一点,求
的取值范围.
【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标,是容易题型.
【解析】(Ⅰ)由已知可得,
,
,
,
即A(1,),B(-
,1),C(―1,―
),D(
,-1),
(Ⅱ)设,令
=
,
则=
=
,
∵,∴
的取值范围是[32,52]
如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点,若CF∥AB,证明:
(Ⅰ) CD=BC;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD.
【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识,是简单题.
【解析】(Ⅰ) ∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE∥BC,
∵CF∥AB, ∴BCFD是平行四边形,
∴CF=BD=AD, 连结AF,∴ADCF是平行四边形,
∴CD=AF,
∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC;
(Ⅱ) ∵FG∥BC,∴GB=CF,
由(Ⅰ)可知BD=CF,∴GB=BD,
∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD
设抛物线:
(
>0)的焦点为
,准线为
,
为
上一点,已知以
为圆心,
为半径的圆
交
于
,
两点.
(Ⅰ)若,
的面积为
,求
的值及圆
的方程;
(Ⅱ)若,
,
三点在同一条直线
上,直线
与
平行,且
与
只有一个公共点,求坐标原点到
,
距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】设准线于
轴的焦点为E,圆F的半径为
,
则|FE|=,
=
,E是BD的中点,
(Ⅰ) ∵,∴
=
,|BD|=
,
设A(,
),根据抛物线定义得,|FA|=
,
∵的面积为
,∴
=
=
=
,解得
=2,
∴F(0,1), FA|=, ∴圆F的方程为:
;
(Ⅱ) 解析1∵,
,
三点在同一条直线
上, ∴
是圆
的直径,
,
由抛物线定义知,∴
,∴
的斜率为
或-
,
∴直线的方程为:
,∴原点到直线
的距离
=
,
设直线的方程为:
,代入
得,
,
∵与
只有一个公共点,
∴
=
,∴
,
∴直线的方程为:
,∴原点到直线
的距离
=
,
∴坐标原点到,
距离的比值为3.
解析2由对称性设,则
点关于点
对称得:
得:,直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为
如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点。
(I) 证明:平面⊥平面
(Ⅱ)平面分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算,考查空间想象能力、逻辑推理能力,是简单题.
【解析】(Ⅰ)由题设知BC⊥,BC⊥AC,
,∴
面
, 又∵
面
,∴
,
由题设知,∴
=
,即
,
又∵, ∴
⊥面
, ∵
面
,
∴面⊥面
;
(Ⅱ)设棱锥的体积为
,
=1,由题意得,
=
=
,
由三棱柱的体积
=1,
∴=1:1, ∴平面
分此棱柱为两部分体积之比为1:1
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。
(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式。
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
频数 |
10 |
20 |
16 |
16 |
15 |
13 |
10 |
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.
【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率,是简单题.
【解析】(Ⅰ)当日需求量时,利润
=85;
当日需求量时,利润
,
∴关于
的解析式为
;
(Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的平均利润为
=76.4;
(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝,故当天的利润不少于75元的概率为