2009年广东省茂名市高州市“缅茄杯”学科竞赛试卷（初三数学）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图所示是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图，根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ）
A．甲户比乙户多
B．乙户比甲户多
C．甲、乙两户一样多
D．无法确定哪一户多

2. 难度：中等

若=3-a，则a与3的大小关系是（ ）
A．a＜3
B．a≤3
C．a＞3
D．a≥3

3. 难度：中等

已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P₁与P关于OB对称，P₂与P关于OA对称，则P₁，O，P₂三点所构成的三角形是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形

4. 难度：中等

如图，某路口统计的某个时段来往汽车的车速（单位：千米/小时）情况，据统计图，这组车速数据的众数和中位数分别是（ ）

A．60千米/小时，60千米/小时
B．58千米/小时，60千米/小时
C．60千米/小时，58千米/小时
D．58千米/小时，58千米/小时

5. 难度：中等

甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱，赔钱的原因是（ ）
A．a＞b
B．a=b
C．a＜b
D．与a、b大小无关

6. 难度：中等

如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm²，则它移动的距离AA′等于（ ）

A．0.5cm
B．1cm
C．1.5cm
D．2cm

7. 难度：中等

对所有实数x、y，若函数y=f（x）满足f（xy）=f（x）f（y），且f（0）≠0，则f（2009）=（ ）
A．2008
B．2009
C．1
D．2

8. 难度：中等

关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是（ ）
A．-6＜a＜-5
B．-6≤a＜-5
C．-6＜a≤-5
D．-6≤a≤-5

9. 难度：中等

已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”（a≥0，0°＜A＜180°）后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线行走a．若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为（ ）
A．（-1，-）
B．（-1，）
C．（，-1）
D．（-，-1）

10. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为（ ）

A．
B．
C．5
D．6

二、填空题

11. 难度：中等

分解因式x²-2xy+y²-1=    ．

12. 难度：中等

已知，且x≠y，则=    ．

13. 难度：中等

如图，已知点A（1，0），点B在直线y=-x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为    ．

14. 难度：中等

如图，已知反比例函数的图象上有点P，过P点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，使四边形OAPB为正方形，又在反比例函数图象上有点P₁，过点P₁分别作BP和y轴的垂线，垂足分别为A₁、B₁，使四边形B A₁P₁B₁为正方形，则点P₁的坐标是    ．

15. 难度：中等

根据你发现的规律，计算=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

先化简再求值：，其中x=2+．

17. 难度：中等

解关于x的方程：

18. 难度：中等

已知a、b、c为△ABC的三边，
（1）若a⁴+b²c²-a²c²-b⁴=0，判断△ABC的形状；
（2）若a²=b²+c²-bc，计算的值．

19. 难度：中等

如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸MN上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E…，某人在河岸PQ的A处测得∠CAQ=30°，然后沿河岸走了110米到达B处，测得∠DBQ=45°，求河流的宽度．

20. 难度：中等

一袋装有四个上面分别标有数字1、2、3、4，除数字外其它完全相同的小球．摇匀后，甲从中任意抽取1个，记下数字后放回摇匀，乙从中任意抽一个，记下数字，然后把这两个数相加（每次抽取前均看不清小球）．
（1）请用列表或树状图的方法求两数和为3的概率；
（2）甲与乙按上述方法做游戏，当两数之和为3时，甲胜，反之乙胜．若甲胜一次得9分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方才公平？

21. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若⊙O的直径为4，AD=3，求∠BAC的度数．

22. 难度：中等

已知：关于x的方程mx²-14x-7=0有两个实数根x₁和x₂，关于y的方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有两个实数根y₁和y₂，且-2≤y₁＜y₂≤4．当+2（2y₁-y₂²）+14=0时，求m的取值范围．

23. 难度：中等

为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表：

	A型	B型
价格（万元/台）	12	10
处理污水量（吨/月）	240	200

经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
（1）请你计算该企业有几种购买方案；
（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种方案购买？

24. 难度：中等

如图，△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连接AD、AM．
求证：（1）△ACM≌△BCM；
（2）AD•BE=DE•BC；
（3）BM²=MN•MF．

25. 难度：中等

某通信器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系，其中整数k使式子有意义．经测算，销售单价60元时，年销售量为50000件．
（1）求出这个函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大并求这个最大值；
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？