设矩阵,求矩阵A的特征向量及A²

设f(x)是定义在[0,1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，1]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

  (I)证明：对任意的∈(O，1)，，若f()≥f()，则(0，)为含峰区间：若f()f()，则为含峰区间：

  (II)对给定的r(0<r<0.5)，证明：存在∈(0，1)，满足，使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r：

  (III)选取∈(O，1)，，由(I)可确定含峰区间为或，在所得的含峰区间内选取，由与或与类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为（0，）的情况下，试确定的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0. 34（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

已知数列满足：

    (1)若，求数列的前30项和的值；

    (2)求证：对任意的实数a，总存在正整数m,使得当n>m（）时, 成立。

某产品按质最分成6种不同档次。假设工时不变，每天可生产最低档次40件。若每提高一个档次，每件利润增加1元，但是每天要少生产2件产品。

  (1)若最低档次产品利润每件为16元时，问生产哪种档次产品每天所获利润最大？

  (2)由于原材料价格的浮动，生产最低档次产品每什利润a [8，24]元，那么生产哪种档次产品利润最大？

已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与Y轴交于点O,B,其中O为原点．

    (1)求证：△OAB的面积为定值：

    (2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM= ON,求圆C的方程．

.已知矩形中，,为的中点，沿将折起，使,分别为的中点。

 （1）求证：直线

 （2）求证：面

在中，为锐角，角所对应的边分别为，且,。

 （Ⅰ）求的值；

 （Ⅱ）若，求的值。

设…，是各项不为零的项等差数列，且公差。若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为           。

若关于的方程中的为负整数，则使方程至少有一个整数解时的值是            。

当取遍所有值时，直线所围成的图形面积为

              。