如图，椭圆C1： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程； （Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交与D，E． （i）证明：MD⊥ME； （ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得  = ？请说明理由．
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已知中心的坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点 ，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F1（Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）命题：“过椭圆  的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则 为定值，且定值是 ”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F、M两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）． |
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设x，y∈R， 、 ，为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量 =x +（y+2） ， =x +（y-2） ，且| |+| |=8．（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程； （2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点．设  = + ，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． |
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已知抛物线y2=2px经过点M（2，- ），椭圆 =1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为 ．（1）求抛物线与椭圆的方程； （2）若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上一点，  =λ（λ≠0），试求点Q的轨迹． |
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在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（ ，0），B（- ，0），直线PA与PB的斜率之积为定值- ．（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程； （Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程． |
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已知椭圆C： =1（a＞b＞0），直线y= 与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1、F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2．（1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线l′过定点Q（  ，0），求实数k的取值范围． |
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已知函数f（x）=elnx，g（x）=e-1•f（x）-（x+1）．（e=2.718…） （1）求函数g（x）的极大值； （2 ）求证：  ；（3）对于函数f（x）与h（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的“分界线”．设函数  ，试探究函数f（x）与h（x）是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由． |
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 已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．（1）求函数f（x）在x=3处的切线斜率； （2）若函数f（x）在区间  上是单调函数，求实数m的取值范围；（3）若函数y=-x，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围． |
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已知函数f（x）=inx-a（x-1），a∈R （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤  恒成立，求a的取值范围． |
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已知函数f（x）=2lnx-x2-ax（a∈R）． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）如果函数f（x）有两个不同的零点x1，x2且x1＜x2，证明：对满足p+q=1，p≤q的任意正常数，f′（px1+qx2）＜0恒成立． |
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