2017届福建连城县一中高三上期中数学（理）试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知为虚数单位，则复数所对应的点在（   ）

A.第一象限       B.第二象限          

C.第三象限       D.第四象限

2. 难度：简单

已知集合，则（   ）

A.               B.        

C.       D.

3. 难度：简单

已知等差数列满足，且数列是等比数列，若，则（   ）

A.32             B.16           

C.8              D.4

4. 难度：中等

如果双曲线经过点，且它的渐近线方程为，那么该双曲线方程式可（   ）

A.        B.      

C.        D.

5. 难度：简单

利用计算机在区间上产生随机数，则不等式成立的概率是（   ）

A.     B.     C.     D.

6. 难度：简单

设是两个非零向量，则“”是“”的（   ）

A.充分不必要条件        B.必要不充分条件     

C.充要条件             D.既不充分又不必要条件

7. 难度：简单

设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于恒成立，则（   ）

A.        

B.

C.        

D.

8. 难度：简单

函数的最大值和最小正周期分别为（   ）

A.         B.       C.        D.

9. 难度：中等

某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当时，最后输出的的值为（   ）

A.9.6            B.7.68             

C.6.144         D.4.9152

10. 难度：简单

如下图，网格纸上小正方形是边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（   ）

A.54                   B.162          

C.           D.

11. 难度：简单

已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为（   ）

A.或       B.或         

C.或        D.或

12. 难度：简单

若函数存在唯一的零点，则实数的取值范围为（   ）

A.      B.      

C.        D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知实数满足，则目标函数的最大值为          .

14. 难度：简单

在的展开式中，的系数是          .

15. 难度：中等

已知正方形的一个面在半径为的半球底面上，四个顶点都在此半球面上，则正方体的体积为          .

16. 难度：中等

设是数列前项和，且，则数列的通项公式          .

三、解答题

17. 难度：简单

已知分别是内角的对边，且.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的面积.

18. 难度：简单

某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场没销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元.

（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量（单位：台，）的函数解析式；

（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量（单位：台），整理得下表：

以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，表示当周的利润（单位：元），求的分布及数学期望.

19. 难度：中等

如下图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.

20. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点，左、右焦点分别在轴上，离心率为，在其上有一动点，到点距离的最小值是1.过作一个平行四边形，顶点都在椭圆上，如图所示.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）判断能否为菱形，并说明理由.

（Ⅲ）当的面积取到最大值时，判断的形状，并求出其最大值.

21. 难度：简单

已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲

如下图，四边形内接于，过点作的切线交的延长线于，已知.

（Ⅰ）若是的直径，求的大小；

（Ⅱ）若，求证：.

23. 难度：简单

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求的值.

24. 难度：简单

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）解不等式：；

（Ⅱ）若，求证：.