Question

某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场没销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元.

（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量（单位：台，）的函数解析式；

（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量（单位：台），整理得下表：

以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，表示当周的利润（单位：元），求的分布及数学期望.

Answer

（I）；（II）分布列见解析，.

【解析】

试题分析：（I）需求量按初购进台空调作为分段点，需求量小于时，多余的每台要交保护费，需求量大于时，多的每台获利，由此可求得函数解析式为；（II）利用（I）计算得的取值有，由表格可得相应的频率（即概率），由此求得分布列和数学期望.

试题解析：

（Ⅰ）当时，

当时，

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

∴

，

的分布列为

∴.

考点：随机变量分布列.