Question

如下图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（I）证明见解析；（II）.

【解析】

试题分析：（I）连结，设与相交于点，连接，则为中点，根据中位线有，所以；（II）设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.利用直线的方向向量和平面的法向量，计算线面角的正弦值.

试题解析：

证法1：连结，设与相交于点，连接，则为中点，

为的中点，∴

∴.

【证法2：取中点，连接和，

平行且等于，∴四边形为平行四边行

∴

，

∴，

同理可得

∴

又

∴.

（Ⅱ），∴

又，∴

又∴

法一：设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.

则.

∴，

平面的一个法向量，

.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【法二：取的中点，连结，则

，故，∴

，∴

延长相交于点，连结，

则为直线与平面所成的角.

因为为的中点，故，又

∴

即直线与平面所成的角的正弦值为.】

【法三：取的中点，连结，则

，故，∴

，∴

取中点，连结，过点作，则，

连结，，

∴为直线与平面所成的角，

即直线与平面所成的角的正弦值为.】

考点：空间向量与立体几何.