Question

已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（I）；（II）.

【解析】

试题分析：（I）利用切点为，斜率建立方程组，解方程组可求得；（II）先将原不等式等价变形为，令，利用导数，分类讨论的取值范围.

试题解析：

（Ⅰ），且直线的斜率为0，又过点，

∴

即解得.

（Ⅱ）当时，

不等式.

令，

令，

①当，即时，在单调递增且，所以当时，在单调递增，∴.即恒成立.

②当，即时，在上单调递减，且，故当时，即，

所以函数在单调递减，

当时，，与题设矛盾，

综上可得的取值范围为.

考点：函数导数与不等式.

【方法点晴】求解切线有关的问题，主要通过切点和斜率建立方程，由此方程解出两个参数.解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用.(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理.