Question

已知椭圆的中心在坐标原点，左、右焦点分别在轴上，离心率为，在其上有一动点，到点距离的最小值是1.过作一个平行四边形，顶点都在椭圆上，如图所示.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）判断能否为菱形，并说明理由.

（Ⅲ）当的面积取到最大值时，判断的形状，并求出其最大值.

Answer

（I）；（II）不能，理由见解析；（III）矩形，且最大值为.

【解析】

试题分析：（I）依题意有，解得，所以椭圆方程为；（II）令直线的方程为，，联立直线的方程和椭圆方程，利用根与系数关系，计算，此方程无实数解，故不成立，所以不存在菱形；（III）由题，而，由（2）根与系数关系可求得面积的表达式，再利用基本不等式计算得面积的最大值为，此时四边形为矩形.

试题解析：

（Ⅰ）依题，令椭圆的方程为，

所以离心率，即.

令点的坐标为，所以，焦点，即

，（没有此步，不扣分）

因为，所以当时，，

由题，结合上述可知，所以，

于是椭圆的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，如图，直线不能平行于轴，所以令直线的方程为，

联立方程，，

得，

所以，.

若是菱形，则，即，于是有，

又，

所以有，

得到，可见没有实数根，故不能是菱形.

（Ⅲ）由题，而，又

即，

由（Ⅱ）知.

所以，，

因为函数，在时，，

即得最大值为6，此时，也就是时，

这时直线轴，可以判断是矩形.

考点：直线与圆锥曲线位置关系.

【方法点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，考查待定系数法求椭圆方程，考查根与系数关系.要求圆锥曲线的标准方程，需要知道两个已知条件，根据题意，一个已知条件是离心率，另一个已知条件是椭圆上的点到焦点的最短距离.要证明四边形是否是菱形，转化为证明对角线是否相互垂直，转化为根与系数关系来求解.