2016届广西柳州市高三下4月模拟理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，则（   ）

A．           B．          C．       D．

2. 难度：简单

已知，则复数在复平面上所对应的点位于（   ）

A．实轴上         B．虚轴上         C．第一象限        D．第二象限

3. 难度：简单

已知向量，且，则等于（   ）

A．1                B．3                   C．4               D．5

4. 难度：简单

设命题：；命题：，则下列命题为真命题的是（   ）

A．        B．        C．             D．

5. 难度：困难

设双曲线右焦点为，点到渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率等于（   ）

A．                B．             C．            D．

6. 难度：简单

已知函数的部分图象如图所示，，则正确的选项是（   ）

A．          B．          C．         D．

7. 难度：简单

阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（   ）

A．              B．                C．               D．

8. 难度：简单

在长为2的线段上任意取一点，以线段为半径的圆面积小于的概率为（   ）

A．               B．                  C．              D．

9. 难度：中等

某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（   ）

A．              B．             C．          D．

10. 难度：中等

如图所示，直四棱柱内接于半径为的半球，四边形为正方形，则该四棱柱的体积最大时，的长为（   ）

A．                B．               C．              D．

11. 难度：困难

已知函数为上的单调函数，则实数的取值范围是（   ）

A．          B．          C．        D．

12. 难度：简单

在中，角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为（   ）

A．                B．                 C．           D．

二、填空题

13. 难度：简单

若满足约束条件，则目标函数的最小值是        .

14. 难度：中等

的展开式中含项的系数为        .

15. 难度：中等

已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值是        .

16. 难度：困难

过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，作垂直抛物线的准线于，为坐标原点，则下列结论正确的是        （填写序号）.

①；

②存在，使得成立；

③；

④准线上任意点，都使得.

三、解答题

17. 难度：困难

已知数列的前项和为，满足，.

（1）证明：是等比数列；

（2）求数列的前项和为.

18. 难度：困难

如图，正四棱锥中，底面的边长为4，，为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：

年份	2011	2012	2013	2014	2015
居民生活用水量（万吨）	236	246	257	276	286

（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程；

（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.

最小二乘估计分别为：，.

20. 难度：压轴

在平面直角坐标系中，动点到点的距离与它到直线的距离之比为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设直线与曲线交于两点，与轴、轴分别交于两点（且

在之间或同时在之外）. 问：是否存在定值，对于满足条件的任意实数，都有的面积与的面积相等，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

21. 难度：压轴

已知函数.

（1）当时，求函数零点的个数；

（2）当时，求证：函数有且只有一个极值点；

（3）当时，总有成立，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲

如图，是⊙的直径，过点作⊙的切线，交⊙于点，的延长线交于点.

（1）证明：；

（2）若，，求和的长.

23. 难度：简单

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是（为参数）和 （为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆和的极坐标方程；

（2）射线：与圆的交点为，与圆的交点为，求的最大值.

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）不等式恒成立时，实数的取值范围是或，求实数的取值集合.