Question

已知函数.

（1）当时，求函数零点的个数；

（2）当时，求证：函数有且只有一个极值点；

（3）当时，总有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）有且只有1个零点；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）依据题设运用导数的知识求解；（2）借助题设条件运用导数的知识分析推证；（3）借助题设条件构造函数运用导数求解.

试题解析：

（1）当时，，.

令得.

∴函数在区间上单调递增，在上单调递减.

∵，，

∴函数在区间内有且只有一个零点；

又当时，恒成立，

∴函数在区间内没有零点.

综上可知，当时，函数有且只有1个零点.

（2）∵，∴.

令，∵，∴函数在区间上单调递减.

∵（∵），，

∴，使得，

∴当时，，即，在区间上单调递增；

当时，，即，在区间上单调递减.

∴是函数在区间内的极大值点.

即当时，函数有且只有一个极值点.

（3）当时，总有成立，

即当时，总有成立，

也就是函数在区间上单调递增.

由可得在区间恒成立，

即在区间恒成立.

设，则.

令，则.

∴当时，即，函数在区间上单调递减；

当时，即，函数在区间上单调递增.

∴.

∴所求的取值范围是.

考点：导数的有关知识及综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究零点极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.解答本题的第一问求零点的个数,这时,求解时只要先对已知函数进行求导,再讨论其在定义域内的单调性,最后依据函数的图象变化情况确定零点的个数;第二问中的证明极值点的个数是个,也是先求导后构造函数,通过对求该函数单调性的研究确定了极值点的个数；第三问中的求取值范围问题则是借助导数可直接从不等式中分离出参数,再运用导数求出其最小值从而使得问题获解.