Question

在平面直角坐标系中，动点到点的距离与它到直线的距离之比为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设直线与曲线交于两点，与轴、轴分别交于两点（且

在之间或同时在之外）. 问：是否存在定值，对于满足条件的任意实数，都有的面积与的面积相等，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在定值.

【解析】

试题分析：（1）直接运用题设条件建立方程求解；（2）借助题设条件运用面积相等进行等价转化分析求解.

试题解析：

（1）设，则，整理得.

∴轨迹的方程为.

（2）联立消去得：，

，由得 （）

设，，则.

由题意，不妨设，

的面积与的面积总相等恒成立线段的中点与线段的中点重合.

∴，解得，

即存在定值，对于满足条件，且（据（））的任意实数，都有的面积与的面积相等.

考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件运用已知条件建立了含动点坐标的方程,通过化简求出了椭圆的方程；第二问的求解过程中,先联立方程组建立以交点坐标及参数为变量的等量关系式,再借助的面积与的面积相等将其等价转化为,最后等价转化为的中点重合,从而建立了等式,然后借助该等式恒成立求出了,说明定值的存在从而使得问题获解.本题设置的具有一定的难度,解答过程中的转化与化归起到非常重要的作用.