选修4-1：几何证明选讲
如图，
是⊙
的直径，过点
作⊙的切线
，
交⊙于点
，
的延长线交于点
.
（1）证明：
；
（2）若
，
，求
和
的长.
已知函数
.
（1）当
时，求函数
零点的个数；
（2）当
时，求证：函数有且只有一个极值点；
（3）当
时，总有
成立，求实数
的取值范围.
在平面直角坐标系
中，动点
到点
的距离与它到直线
的距离之比为
.
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）设直线
与曲线交于
两点，与
轴、
轴分别交于
两点（且
在之间或同时在之外）. 问：是否存在定值
，对于满足条件的任意实数
，都有
的面积与
的面积相等，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
居民生活用水量（万吨） | 236 | 246 | 257 | 276 | 286 |
（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程
；
（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.
最小二乘估计分别为：
，
.
如图，正四棱锥
中，底面
的边长为4，
，
为
的中点.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
已知数列
的前
项和为
，满足
，
.
（1）证明：
是等比数列；
（2）求数列的前项和为.
