2015-2016学年山西省高二下期末文科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设是虚数单位，若复数，则（   ）

A．             B．                 C．3              D．5

2. 难度：中等

设某大学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（   ）

A．与具有正的线性相关关系

B．回归直线过样本点的中心

C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

3. 难度：简单

某医疗所为了检查新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1000名注射疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人半年的感冒记录比较，提出假设“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算，则下列说法正确的是（   ）

A．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%

B．若某人未使用疫苗则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1

C．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”

D．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”

4. 难度：简单

下列使用类比推理所得结论正确的是（   ）

A．直线，若，则．类推出：向量，若，则

B．同一平面内，直线，若，则．类推出：空间中，直线，若，则．

C．实数，若方程有实根，则．类推出：复数，若方程有实数根，则．

D．以点为圆心，为半径的圆的方程是．类推出：以点为球心，为半径的球的方程是．

5. 难度：简单

用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（   ）

A．假设三内角都不大于60度            

B．假设三内角都大于60度

C．假设三内角至多有一个大于60度      

D．假设三内角至多有两个大于60度

6. 难度：简单

在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为（   ）

A．             B．2              C．            D．

7. 难度：简单

在平面上，若两个正三角形的边长的比是1:2，则它们的面积比为1:4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比是1:2，则它们的体积比为（   ）

A．1:4                 B．1:8               C．1:2          D．1:3

8. 难度：简单

如果实数满足，则的最小值是（   ）

A．4                B．6                  C．8                D．10

9. 难度：中等

不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A．      

B．           

C．          

D．

10. 难度：简单

若直线与的图象有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ）

A．          

B．        

C．       

D．

11. 难度：中等

已知，在区间上任取三个数，均存在以为边长的三角形，则的取值范围是（   ）

A．          B．            C．           D．

12. 难度：中等

如图所示，面积为S的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则（   ）

A．             B．               C．            D．

二、填空题

13. 难度：简单

某单位为了了解用电量（千瓦时）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温/℃	18	13	10	-1
用电量/千瓦时	24	34	38	64

由表中数据得到线性回归方程中，预测当气温为-4℃时，用电量的度数约为              ．

14. 难度：简单

在极坐标系中，点到直线的距离为             ．

15. 难度：简单

关于不等式的解集是             ．

16. 难度：简单

将全体正整数排成一个三角形数阵

按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为              ．

三、解答题

17. 难度：简单

已知函数．

（1）解不等式；

（2）若存在实数使得，求实数的取值范围

18. 难度：简单

在直角坐标系中，已知曲线的方程为，以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．

（1）将曲线上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；

（2）设为曲线上任意一点，求点到直线的最大距离．

19. 难度：简单

“奶茶妹妹”对某段时间的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价元和销售量杯之间的一组数据如下表所示：

价格	5	5.5	6.5	7
销售量	12	10	6	4

通过分析，发现销售量对奶茶的价格具有线性相关关系．

（1）求销售量对奶茶的价格的回归直线方程；

（2）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？

注：在回归直线中，．

20. 难度：简单

某大学餐饮中心为了了解新生的习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查调查结果如下表所示：

	喜欢甜品	不喜欢甜品	合计
南方学生	60	20	80
北方学生	10	10	20
合计	70	30	100

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.

参考数据：

	0.10	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

（参考公式：，其中）

21. 难度：中等

已知函数．

（1）计算及的值；

（2）由（1）的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明；

（3）求值：．

22. 难度：中等

已知函数．

（1）求的单调区间及最小值；

（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围．