Question

已知函数．

（1）求的单调区间及最小值；

（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）单调增区间为，单调减区间为，最小值为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设运用导数求解；（2）借助题设条件构造函数运用导数的知识求解.

试题解析:

（1）

当时，，是减函数

当时，，是增函数

的最小值为

所以的单调增区间为，单调减区间为，最小值为0

（2）构造函数，

则

因为，所以的符号就是的符号

设 ，

因为，所以

①当时，，在上为增函数，而，所以，

即，所以在上为增函数，而，所以，故合乎题意

②当时，由，得，在区间内，，是减函数

所以在区间内，小于0，所以，在上为减函数，，故不合题意，

综上所述，所求的实数的取值范围为

考点：导数在研究函数的单调性和极值中的综合运用．

【易错点晴】函数是高中数学的核心内容，也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时，一定要先求导，再对求导后的导函数的解析式进行变形（因式分解或配方），其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号，以便确定其单调性，这是解答这类问题容易忽视的.本题第二问的求解过程则先构造函数，再借助导数运用分析转化的思维方式进行求解，最后求出实数的取值范围.