Question

在直角坐标系中，已知曲线的方程为，以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．

（1）将曲线上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；

（2）设为曲线上任意一点，求点到直线的最大距离．

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助直角坐标和极坐标的互化求解；（2）借助题设条件和椭圆的参数方程，运用点到直线的距离公式求解.

试题解析:

（1）由题意知，直线的直角坐标方程为：

由于曲线的直角坐标方程为：即

所以曲线的参数方程为：（为参数）

（2）设点的坐标为，

则点到直线的距离为

所以当时，

考点：参数方程和极坐标方程等有关知识的运用．

【易错点晴】极坐标和参数方程是高中数学选修内容中的核心内容，也是高考必考的重要考点.解答这类问题时，一定要扎实掌握极坐标与之交坐标之间的关系，并学会运用这一关系进行等价转换.关于参数方程问题求解时，要学会消参、用参、设置参数等几个方面的运用.如本题在解答时充分利用题设条件，运用参数方程与直角坐标、极坐标之间的相互转化，从而使问题巧妙获解.特别是第二问中求点到直线的最大值时，巧妙运用曲线的参数方程和点到直线的距离公式，将问题合理转化，进而获解.